Partición de productos cartesianos de la forma $[0,n]\times[0,m]$ ( $n,m\in\mathbf{N}$) "En diagonal"

Question

Considere el producto cartesiano $[0,2]\times[0,3]$. Los elementos de este conjunto son$$\begin{align*} & (0,0) & (1,0) & &(2,0) \\ & (0,1) & (1,1) && (2,1)\\ &(0,2) & (1,2) && (2,2)\\ &(0,3) & (1,3) && (2,3)\end{align*}$$ Los siguientes conjuntos dividen este producto cartesiano "diagonalmente": $$\{(0,0)\},\{(1,0),(0,1)\},\{(0,2),(1,1),(2,0)\},\{(0,3),(1,2),(2,1)\},\{(1,3),(2,2)\},\{(2,3)\}.$$ ¿Hay alguna forma de hacer esto para $n,m\geq 0$? Inicialmente pensé en la siguiente forma. Para cada$k\in[0,m+n]$, dejar $$J_k=\{(i,j)\ |\ 0\leq i\leq n\ \land\ 0\leq j\leq m\ \land\ i+j=k\}.$$ Pero estos $J_k$Contiene más elementos de los que necesito. ¿Alguna sugerencia para enmendar esto?

Answer 1

Estaba revisando tu definición del set $J_k$ para su ejemplo anterior y resultó funcionar bien.

Considere, por ejemplo, $k=2$. Luego

$$J_2 = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq 2 \wedge 0 \leq j \leq 3 \wedge i + j = 2\}$$

Entonces quieres esos pares ordenados en el rectángulo $[0,2] \times [0,3]$ que estan en la linea $j = -i + 2$. Y puede ver, resolviendo esa ecuación (sabiendo que$i, j \in \mathbb{N}$) obtendrá las soluciones exactas que escribió en su pregunta.

Ahora, en general, eso es lo que estás haciendo en esos conjuntos

$$J_k = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq n \wedge 0 \leq j \leq m \wedge i + j = k \}$$

Aquí está enumerando todos los pares que están en el rectángulo $[0,n] \times [0,m]$ y en la linea $i + j = k$.

Por lo tanto, una colección de estos conjuntos $J_k$ le dará la partición de ese rectángulo "en diagonal".