¿Por qué el conjunto de Cantor es incontable [duplicado]?
Me cuesta entender por qué el conjunto de Cantor tiene innumerables elementos.
Un conjunto de cantor $C$está cerrado. Entonces$[0,1] - C = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} I_n$es abierto y es unión contable de intervalos abiertos inconexos. Además puedo asumir que puedo ordenar el$\{I_n\}$por sus puntos finales izquierdos, ya que solo hay muchos de ellos. Así que entre$I_n=(a_n,b_n)$ y $I_{n+1} = (a_{n+1},b_{n+1})$, Debemos tener $a_n < b_n \leq a_{n+1} < b_{n+1}$. Si$b_n < a_{n+1}$, entonces el Cantor puso $C$ consiste en un intervalo, que es una contradicción, por lo que $b_n = a_{n+1}$ para todos $n$, y por lo tanto, el conjunto de Cantor puede tener como máximo contables muchos puntos.
Respuestas
El error en su razonamiento es la suposición de que se puede ordenar un conjunto contable de números. Por ejemplo, considere el conjunto de números racionales, contables, pero no pueden ser ordenados ('ordenar' aquí significa enumerar en una secuencia tal que$\alpha_1<\alpha_2<\dots$).
Una forma sencilla de ver que el conjunto cantor es incontable es observar que todos los números entre $0$ y $1$ con expansión ternaria que consta de solo $0$ y $2$son parte del conjunto cantor. Dado que hay innumerables secuencias de este tipo, el conjunto cantor es incontable.
Además puedo asumir que puedo ordenar el $\{I_n\}$ por sus puntos finales izquierdos, ya que solo hay muchos de ellos.
No. ¿Por qué crees que puedes? Considere, por ejemplo, los innumerables números$$ \bigl\{\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}\cup\bigl\{\tfrac12-\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}. $$ Siempre que haya más de un punto de acumulación, no puede esperar ordenarlos indexados por números enteros.
Además puedo asumir que puedo ordenar el $\{I_n\}$ por sus puntos finales izquierdos, ya que solo hay muchos de ellos.
Según esta lógica, también debería ser posible enumerar los números racionales en orden. Pero eso es absurdo.
No sigo su argumento lo suficientemente bien como para ver exactamente dónde sale mal ... Una pregunta que podría hacerse es "¿muestra esto que cada conjunto cerrado es contable?" ¿Qué tiene de especial el cantor establecido aquí? No lo estoy viendo.
En cuanto a por qué el conjunto cantor es incontable, considere esto:
En cada nivel finito de la construcción del conjunto cantor, "tiramos" el tercio medio de cada pieza. Entonces tenemos una decisión que tomar en cada etapa: ¿vamos a la izquierda ? o vamos bien ?
Por ejemplo, empezamos en $[0,1]$. Entonces tenemos que decidir entrar en$[0,\frac{1}{3}]$ o en $[\frac{2}{3},1]$. Digamos que vamos a la izquierda. Ahora tenemos la opción de entrar$[0,\frac{1}{9}]$ o $[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$.
Puede ver que cada secuencia contable de elecciones (izquierda o derecha) da un punto único del conjunto de cantor. Además, cada punto del conjunto cantor corresponde a tal secuencia de elecciones. Entonces si escribimos$0$ para "izquierda" y $1$ para "correcto, los puntos de cantor set están en biyección con las infinitas cadenas de $0$sy $1$s.
Aparte de la diversión, la estructura topológica también está de acuerdo. Es por eso que a menudo verás que la gente llama al cantor set$2^\omega$. En el lenguaje de la teoría de conjuntos, eso básicamente se traduce en "secuencias infinitas de$0$sy $1$s ".
Ok, pero ahora debe haber innumerables secuencias infinitas de $0$sy $1$s por un argumento de diagonalización . Así que el conjunto cantor también es incontable.
Espero que esto ayude ^ _ ^