¿Por qué el número de$\mathbb{F}_q$puntos de grado$d$curvas$C\subset \mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^n$disminuir como$n$aumenta?
Esta pregunta se refiere a algunos resultados contrarios a la intuición (al menos para mí) con respecto al número de puntos en una curva proyectiva sobre un campo finito. Es decir, si uno fija el grado de la curva, pero aumenta la dimensión del espacio proyectivo ambiental, uno puede obtener límites más estrictos en el número de$\mathbb{F}_q$puntos de la curva, a pesar de haber un mayor número de$\mathbb{F}_q$puntos en el espacio ambiental. Permítanme hacer esto más preciso con dos ejemplos.
Dejar$C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$sea una curva proyectiva de grado$d$. Suponer$C$no es degenerado en el sentido de que no está contenido en ningún espacio proyectivo más pequeño$\mathbb{P}^k_{\mathbb{F}_q}$,$k<n$.
El trabajo de Homma (que amplía el trabajo de Homma y Kim) ha demostrado$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-1)q+1, $$con una sola excepción (hasta el isomorfismo) sobre$\mathbb{F}_4$. Este es el llamado límite Sziklai, y es estrecho para$n=2$.
Este límite no es estrecho para$n>2$; recientemente Beelen y Montanucci muestran que si$C\subset \mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$es no degenerado entonces de hecho$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-2)q+1. $$Conjeturan además que si$C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$, el límite general debe ser$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-n+1)q+1. $$
Esto recuerda un fenómeno del trabajo de Bucur y Kedlaya. Por ejemplo: una curva suave aleatoria en$\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_q}$se espera que tenga$$q+1$$puntos sobre$\mathbb{F}_q$a medida que su grado crece hasta el infinito. Una intersección aleatoria completa de dos grados suaves$d$superficies en$\mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$se espera que tenga$$ q+1 - \frac{q^{-2}(1+q^{-1})}{1+q^{-2}-q^{-5}} < q+1 $$puntos sobre$\mathbb{F}_q$, otra vez como$d\to\infty$.
Estos resultados son contradictorios para mí, ya que el número de puntos en el espacio proyectivo ambiental crece (exponencialmente) a medida que$n$hace, por lo que en particular me parece que debería ser más fácil para las curvas tener$\mathbb{F}_q$puntos cuando están incrustados en espacios proyectivos más grandes. ¿Alguien tiene alguna intuición de por qué debería ser cierto lo contrario?
Referencias:
Beelen y Montanucci: un límite para el número de puntos de curvas espaciales sobre campos finitos
Bucur y Kedlaya: la probabilidad de que una intersección completa sea suave
Homma: un límite en el número de puntos de una curva en el espacio proyectivo sobre un campo finito
Respuestas
Una forma de obtener algo de intuición proviene de observar el límite combinatorio (más débil). Suponga que tiene una curva no degenerada$C$en algún espacio proyectivo$\mathbb P^n$. Supongamos que eso$L$es un subespacio de codimensión$2$en$\mathbb P$y eso$|C\cap L|=m$. Cuanto mayor sea la dimensión$n$obtiene, el valor más alto que podemos elegir para$m$. De hecho, siempre podemos encontrar al menos$n-1$puntos en$C$que abarcan un$\mathbb P^{n-2}$.
Bezout te dice que para cualquier hiperplano$H$eso contiene$L$, el número de puntos de$C$que yacen en$H$y no mientas$L$es como máximo$d-m$. Dado que el número de tales hiperplanos es$q+1$, independiente de la dimensión, obtenemos$|C|-m\le (q+1)(d-m)$o de manera equivalente a partir de la reorganización de los términos$$|C|\le (d-m)q+d.$$Para$m=n-1$esto da el límite$|C|\le (d-n+1)q+d$para todas las curvas no degeneradas$C$. Por supuesto, esto es más débil que la conjetura y los teoremas que mencionas en la publicación, pero (1) es cierto para todas las curvas, incluida la que viola el límite de Sziklai (2) ya exhibe el fenómeno "el límite se vuelve más estrecho a medida que$n$Sube".