¿Por qué esto no muestra que la aritmética de Peano de primer orden es consistente?
ALGUNOS PRELIMINARES: La lógica de predicados es consistente y completa. En otras palabras, (i) para una fórmula cerrada$F$ en cálculo de predicados con igualdad y funciones, $\vdash F$ si y solo si $\,\vDash F$ (dónde $\vDash F$ medio $F$ es cierto bajo la interpretación estándar de las constantes lógicas para cualquier asignación de predicados y funciones que ocurran en $F$). Además, (ii) si$\,\vdash F$ en aritmética de primer orden, luego para alguna secuencia finita de fórmulas $\Gamma$ (dónde $\Gamma$ son axiomas cerrados de la aritmética de Peano), $\Gamma \vdash F$ en cálculo de predicados con igualdad y funciones.
Ahora aquí está mi argumento, ¿dónde cometí un error? Suponer$\vdash F$en aritmética de primer orden. Luego por (ii),$\Gamma \vdash F$en la lógica de predicados. Así$\vdash \Gamma' \rightarrow F$ (donde la formula $\Gamma'$ es la conjunción de las fórmulas en $\Gamma$). Por (i),$\vDash \Gamma' \rightarrow F$. Luego, en el modelo estándar de aritmética (y todos los demás modelos),$\Gamma' \rightarrow F$es una declaración verdadera bajo la interpretación. Y en la teoría de números intuitiva, la proposición$\Gamma'$es cierto en el modelo estándar. Así intuitivamente,$F$debe ser verdad. Por tanto, si$F$es demostrable en aritmética de primer orden, entonces es cierto intuitivamente. Entonces, si la aritmética de primer orden fuera inconsistente, las proporciones$0=0$ y $0\neq0$sería demostrable y, por tanto, ambas verdaderas en el modelo estándar, lo cual es absurdo. Por tanto, el sistema formal debe ser coherente.
¿Es esto incluso un argumento válido? ¿Es este un argumento fuerte o es más un argumento heurístico porque apela a métodos no finitarios? ¿Es circular porque se basa en la coherencia de la teoría numérica intuitiva? Además, si este argumento no es válido, ¿por qué formalizamos la teoría de números si no podemos saber que los teoremas son necesariamente ciertos?
Respuestas
El hecho de que $\mathbb{N}$ es un modelo de aritmética de Peano de primer orden (en adelante simplemente aritmética de Peano) es suficiente para mostrar la consistencia de la aritmética de Peano.
Sin embargo, el hecho de que podamos hablar del set $\mathbb{N}$y cómo "modela" la aritmética supone que estamos trabajando en una teoría de conjuntos (como ZF) como nuestra meta-teoría (o al menos alguna meta-teoría más fuerte que la aritmética de Peano). Por lo tanto, estamos probando la consistencia de la aritmética de Peano en una teoría aún más fuerte que la aritmética de Peano (que en sí misma podría ser inconsistente).
No podemos probar la consistencia de la aritmética de Peano dentro de la propia aritmética de Peano (a menos que la aritmética de Peano sea realmente inconsistente, en cuyo caso tenemos problemas mucho mayores). Esto se sigue del teorema de incompletitud de Gödel.
Entonces, esencialmente, el hecho de que la aritmética de Peano sea consistente puede darse por sentado filosóficamente tanto como cualquier declaración probada en ZF.