¿Por qué funciona la solución de un párrafo al problema 6 de la OMI en 1988?

Aug 17 2020

Emanouil Atanassov, que se dice que completó el problema de la OMI "más difícil" en un solo párrafo y recibió el premio especial, dio la prueba que se cita a continuación:

Pregunta: Sean ayb enteros positivos tales que $ab+1$ divide $a^2+b^2$ Muestra esa $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ es el cuadrado de un número entero

Prueba: $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1} \implies a^2-kab+b^2=k, k\in \mathbb{Z}$ Asumir $k$no es un cuadrado perfecto. Tenga en cuenta que para cualquier solución integral$(a,b)$ tenemos $a>0, b>0$ya que k no es un cuadrado perfecto. Dejar$(a,b)$ ser una solución integral con $a>0, b>0$ y $a+b$mínimo. Produciremos a partir de ella otra solución integral$(a',b)$ con $a'>0 , \ b>0$ y $a'+b<a+b$. Contradicción (omitimos el argumento para llegar a$(a',b)$)

$a'=0$ es suficiente para $k$siendo un cuadrado, pero no es cierto en general. Esta prueba parece implicar$a'=0$ para todas las soluciones $(a,b)$. El único supuesto que se contradice es la minimidad de$a+b$, no la suposición $k$no es un cuadrado perfecto. ¿Cómo se sigue trivialmente la afirmación de esta prueba?

EDITAR: Aquí está la prueba modificada, pero sin la suposición $k$ no es un cuadrado perfecto.

$k=\frac{a^2+b^2}{ab+1} \implies a^2-kab+b^2=k, k\in \mathbb{Z}$ Dejar $(a,b)$ ser una solución integral con $a>0, b>0$ y $a+b$mínimo. Produciremos a partir de ella otra solución integral$(a',b)$ con $a'>0 , \ b>0$ y $a'+b<a+b$. Contradicción (omitimos el argumento para llegar a$(a',b)$)

También he eliminado la segunda oración, porque $a,b>0$se da en la pregunta. ¿Qué implica esta prueba que la primera no?

Respuestas

4 JoséCarlosSantos Aug 17 2020 at 14:04
  1. Si hay soluciones $(a,b)$ para cual $k$ no es un cuadrado perfecto, entonces $a,b>0$.
  2. Además, si hay soluciones $(a,b)$ para cual $k$ no es un cuadrado perfecto, entonces habrá, entre esas soluciones, una para la cual $a+b$ es mínimo.
  3. Entonces el autor encuentra otra solución $(a',b)$ con $a'<a$, lo que implica que $a'+b<a+b$.
  4. Pero eso es imposible, ya que asumíamos que $(a,b)$ fue la solución para la cual $a+b$ toma el valor más pequeño.
2 AlexeyBurdin Aug 17 2020 at 14:57

Solución completa textualmente de en.wiki/Vieta jumping :

Salto estándar de Vieta

El concepto de salto estándar de Vieta es una prueba por contradicción y consta de los siguientes tres pasos:${}^{[1]}$

  1. Asumir ante una contradicción que existe alguna solución que viola los requisitos dados.
  2. Tome la solución mínima de acuerdo con alguna definición de minimidad.
  3. Demuestre que esto implica la existencia de una solución más pequeña, por lo tanto, una contradicción.

Ejemplo

Problema n. ° 6 en la OMI 1988: $a$ y $b$ ser enteros positivos tales que $ab + 1$ divide $a^2 + b^2$. Pruebalo$\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ es un cuadrado perfecto.${}^{[2]}$${}^{[3]}$

  1. Arreglar algo de valor $k$que es un número entero positivo no cuadrado. Suponga que existen enteros positivos$(a, b)$ para cual $k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$.
  2. Dejar $(A, B)$ ser enteros positivos para los cuales $k = \frac{A^2 + B^2}{AB + 1}$ y tal que $A + B$ se minimiza y sin pérdida de generalidad asumir $A \ge B$.
  3. Fijación $B$, reemplazar $A$ con la variable $x$ ceder $x^2 – (kB)x + (B^2 – k) = 0$. Sabemos que una raíz de esta ecuación es$x_1 = A$. Por las propiedades estándar de las ecuaciones cuadráticas, sabemos que la otra raíz satisface$x_2 = kB – A$ y $x_2 = \frac{B^2 – k}{A}$.
  4. La primera expresión para $x_2$ muestra que $x_2$ es un número entero, mientras que la segunda expresión implica que $x_2 \ne 0$ ya que $k$no es un cuadrado perfecto. Desde$\frac{x_2^2 + B^2}{x_2B + 1} = k > 0$ además se sigue que $x_2$es un número entero positivo. Finalmente,$ A \ge B$ implica que $x_2 = \frac{B^2 − k}{A} < A$ y por lo tanto $x_2 + B < A + B$, que contradice la minimidad de $A + B$.
1 twentyyears Aug 17 2020 at 15:17

Creo que lo he resuelto y aludiré a la prueba de Wikipedia dada en la respuesta de Alexey, ya que los argumentos son los mismos y creo que la fuente no ha sido confiable al "omitir" los pasos.

La minimidad de $A+B$se contradice. (2) y (3) son irrelevantes para$k$. (4) dice$x$ no puede ser $0$ Si $k$no es un cuadrado perfecto. Entonces$x\neq 0$. Pero si$x\neq 0$, puramente a través del álgebra, independiente de $k$siendo cuadrados o no, contradecimos la minimidad. Entonces, el quid,$(A,B)$ minimiza $A+B$. sólo si$x_2=0$. Dado que no hay un mínimo de$(A,B)$ pares cuando $k$ no es un cuadrado, podemos concluir que no existen tales pares.

Si Atanassov encontró esto tan trivial que lo mantuvo en su cabeza, sigue siendo un misterio.