¿Por qué la acción de Z controlado no se altera al intercambiar qubits de control de destino?
En el libro "Quantum Computer Science", al explicar el código de corrección de errores, utiliza esta imagen y dice que "la acción de control-z no se altera al intercambiar los qubits de destino y de control".
¿Significa esto que el acto de cZ (control ancilla qubit y target codeword qubit) es igual a cz (control codeword qubit y target ancilla qubit)? Si este es el caso, ¿por qué?
Según tengo entendido, | 1> Z | 0> (el primer qubit es el qubit de control) no es igual a Z | 0> | 1> (el segundo qubit es el qubit de control).

Respuestas
Si tenemos un estado arbitrario de dos qubit:
$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$
luego después de aplicar $CZ_{1 \rightarrow 2}$ controlado desde el primer qubit obtendremos:
$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$
porque la operación de control funciona cuando el qubit de control está $|1\rangle$ y $Z$ puerta cambia el signo de la amplitud de la $|1\rangle$ estado, por lo tanto $CZ_{1 \rightarrow 2}$ La acción está cambiando el signo de la $|11\rangle$.
Ahora la acción de $CZ_{2 \rightarrow 1}$:
$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$
Lo mismo es cierto aquí sólo el signo de la $|11\rangle$debe cambiarse por razones similares. Esto se puede ver también usando matrices:
$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$