¿Por qué la acción de Z controlado no se altera al intercambiar qubits de control de destino?

Aug 15 2020

En el libro "Quantum Computer Science", al explicar el código de corrección de errores, utiliza esta imagen y dice que "la acción de control-z no se altera al intercambiar los qubits de destino y de control".

¿Significa esto que el acto de cZ (control ancilla qubit y target codeword qubit) es igual a cz (control codeword qubit y target ancilla qubit)? Si este es el caso, ¿por qué?

Según tengo entendido, | 1> Z | 0> (el primer qubit es el qubit de control) no es igual a Z | 0> | 1> (el segundo qubit es el qubit de control).

Respuestas

4 DavitKhachatryan Aug 15 2020 at 22:13

Si tenemos un estado arbitrario de dos qubit:

$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

luego después de aplicar $CZ_{1 \rightarrow 2}$ controlado desde el primer qubit obtendremos:

$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

porque la operación de control funciona cuando el qubit de control está $|1\rangle$ y $Z$ puerta cambia el signo de la amplitud de la $|1\rangle$ estado, por lo tanto $CZ_{1 \rightarrow 2}$ La acción está cambiando el signo de la $|11\rangle$.

Ahora la acción de $CZ_{2 \rightarrow 1}$:

$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

Lo mismo es cierto aquí sólo el signo de la $|11\rangle$debe cambiarse por razones similares. Esto se puede ver también usando matrices:

$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$