Por qué los reales con la operación $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ es un grupo?
La operación anterior es un grupo para los números reales, ya que 0 es el elemento de identidad y el negativo de cualquier número real es su inverso, como se puede observar trivialmente. La asociatividad es menos trivial, pero se mantiene.
De hecho, si sustituimos 3 por cualquier número impar (5, 7 ...), la operación satisface las propiedades del grupo. Sin embargo, cualquier número par falla.
¿Existe alguna interpretación geométrica / analítica / ... por qué una operación como $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ es asociativo y, en consecuencia, da la estructura de un grupo a los reales?
Respuestas
Dejar $G$ ser cualquier grupo, $X$ ser cualquier conjunto, y $f: X \rightarrow G$ser cualquier biyección. Luego, podemos transferir la estructura del grupo de$G$ a $X$ configurando $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$. Es decir, usamos la biyección$f$ para identificar elementos de $G$ y elementos de $X$y poner una estructura de grupo en $X$utilizando esta identificación. Dejaré como ejercicio que esto de hecho define una estructura de grupo en$X$.
Ahora toma $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ y $f(x)=x^3$ para recuperar su caso.
Si $f$ es una extraña biyección de los reales, entonces la operación
$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$
hace de los reales un grupo y $f$un isomorfismo del grupo aditivo de los reales a ese grupo. En tu caso$f(x)=x^3$. La asociatividad se deriva del hecho de que$f$ es un homomorfismo. $0$ es el elemento neutro y $-x$ es el inverso de $x$. Aquí el hecho de que$f$ es impar se utiliza.
Por una biyección arbitraria$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, la operacion $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ es una ley de grupo sobre $\mathbf R$. Todo esto dice es que si cambia el nombre de cada número real$x$ como $f(x)$ entonces puedes convertir la ley de grupo original $+$ en una ley de grupo $*$ así que eso $f$ es un isomorfismo de $(\mathbf R, *)$ a $(\mathbf R,+)$. La intuición es algebraica, no geométrica. No hay nada mágico en$n$th raíces para impar $n$ que no sea una biyección.
La función tangente hiperbólica $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ es una biyección que le permite transportar la adición en $\mathbf R$ a una ley de grupo sobre $(-1,1)$que se usa en relatividad especial (suma de velocidades en movimiento unidimensional). La inversa de esta biyección, hasta un factor de escala, se denomina "rapidez" en física.
Respuesta corta: porque $\sqrt{x^2}\ne x$ para $x<0$.
Respuesta larga, en la que prefiero $\cdot$ a $\bullet$:
Una operación satisfactoria $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ cierra los reales, ya que si $n$ es extraño que podamos tomar el $n$th raíz, y si $n$ es incluso que solo intentamos tomar el $n$la raíz de algo $\ge0$. Y desde$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$la operación se asocia. (Cancelando el poder de$n$ es trivial ya que, incluso si $n$ incluso, $\cdot$ siempre se define para tomar lo no negativo $n$th raíz de todos modos.) Entonces, como mínimo, formamos un semigrupo.
Ya que $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$, por extraño $n$ también tenemos $0$ como una identidad, pero incluso para $n$ no lo hacemos porque $x\cdot0=|x|$, por lo que ni siquiera es un monoide, y mucho menos un grupo . El último grupo de axiomas es inverso, que funciona para$n$ como notó, pero incluso por $n$ tenemos $x\cdot y\ge|x|$, por lo que tampoco tenemos inversas.
Pista :
La asociatividad simplemente resulta del hecho de que ambos $\;(x\bullet y)\bullet z$ y $\;x\bullet( y \bullet z)$ son iguales a $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$