Por qué $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$?

Question

Mi problema:

Suponer $\mathcal{E}$ y $\mathcal{H}$ son sub-$\sigma$-álgebras del $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$. Dejar$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ y $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$. Suponer que$\mathcal{E}$ es independiente de $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$.

Luego $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

Mi intento:

Intenté usar la caracterización $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ para todos $\mathcal{H}$-Variable aleatoria acotada y medible o $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ para todos $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$-Variable aleatoria acotada y mensurable.

Answer 1

Este es un resultado conocido por Doob.

Teorema: Sea$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ y $\mathscr{C}$ ser sub$\sigma$--álgebras de $\mathscr{F}$. $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ si $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ para todos $A\in \mathscr{A}$.

Aquí hay una prueba de disparo:

Suponer que $\mathscr{A}$ y $\mathscr{B}$ son condicionales independientes dadas $\mathscr{C}$, es decir $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ para todos $A\in \mathscr{A}$ y $B\in \mathscr{B}$. Entonces, para cualquier$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ y $C\in\mathscr{C}$ tenemos $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ Ya que $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$, un argumento de clase monótono muestra que $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ para todos $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$. Esto significa que$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

Por el contrario, suponga que $\eqref{doob-independence}$sostiene. Para cualquier$A\in\mathscr{A}$ y $B\in\mathscr{B}$ tenemos \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} Esto muestra que $\mathscr{A}$ y $\mathscr{B}$ son independientes dados $\mathscr{C}$.

La extensión a variables aleatorias se realiza expandiendo primero a funciones simples y luego mediante la aproximación monótona habitual por funciones simples.