Por que tenemos $\hbar$ en la relación de conmutación?
Pensemos en la constante de Planck a partir de la pendiente de la relación de dispersión del campo electromagnético, $E=\hbar \omega$. La constante de Planck no es independiente de la carga del electrón, ambos pueden reescalarse siempre que la constante de estructura fina permanezca sin cambios. Aún así, a menudo es conveniente usar ambos.
A medida que comenzamos a aprender QM, mucho antes de llegar a QED, se nos enseña que la constante de Planck aparece como un múltiplo de $i$en la relación de cuantificación canónica. ¿¿Por qué??
No me malinterpretes, estoy totalmente de acuerdo con el hecho de que aparezca en los estudios del oscilador. Podría ser simplemente una cantidad dimensional en términos de la cual se expresan otras cantidades que tienen las mismas unidades.
Pero normalmente nos dicen algo muy diferente. En el espíritu de "este número$\hbar$ en $[q,p]=i\hbar$ es la constante de Planck cuyo valor es ..., y establece la escala en la que la física comienza a ser cuántica ".
Imagine un mundo sin QED, con quarks y gluones que interactúan fuertemente únicamente. ¿Qué número pondrían en la relación de conmutación al enseñar a estudiantes universitarios?
Respuestas
Esta pregunta ilustra uno de los desafíos fundamentales en la enseñanza de la física. Necesitamos aprender cosas más fáciles primero, porque somos humanos, pero eso está en conflicto directo con el deseo de aprender cosas en una secuencia que es lógicamente clara (los axiomas más profundos primero, y para siempre derivar todo lo demás de ellos).
Aprendemos $E=\hbar\omega$para fotones primero, porque es más fácil. Luego aprendemos QM no relativista, y luego aprendemos QED. Pero la razón de la aparición de la misma constante$\hbar$ en ambos $E=\hbar\omega$ (para fotones) y en $[q,p]=i\hbar$ QM no relativista (que no tiene fotones) ¡proviene de QED!
Para este caso particular, aquí hay una posible solución: después de que los estudiantes aprendan que $E=\hbar\omega$para los fotones, señale que este es un caso especial de una relación que funciona para partículas de toda masa, no solo para las sin masa. En particular, la misma relación es válida para partículas masivas en QM no relativista. Ahora, después de introducir algunos conceptos básicos sobre la MC no relativista, podemos anunciar que el factor de$\hbar$ realmente proviene de las relaciones de conmutación, y luego podemos mostrarles cómo derivar la $E=\hbar\omega$ por esa razón más profunda (para partículas masivas).
Para cuando los estudiantes estén listos para aprender la MC no relativista, ya deberían estar familiarizados con el hecho genérico de que la secuencia de lo más fácil primero es a menudo diferente a la secuencia de lógica clara, por lo que deben estar abiertos a reorganizar su ver de dónde "viene" la constante de Planck cuando aprenden QM no relativista. Y una vez que los estudiantes ven cómo el factor de$\hbar$ en $E=\hbar\omega$ surge de las relaciones de conmutación en QM no relativista, deberían estar abiertos a la idea de que algo similar podría ser cierto de manera más general, por lo que deberían estar abiertos a una declaración como esta:
Más tarde, cuando aprenda sobre la QED relativista, verá que la relación $E=\hbar\omega$ para fotones obtiene su factor de $\hbar$ de la misma fuente: relaciones de conmutación.
Esta no es una solución perfecta, porque los estudiantes pueden asumir que "relaciones de conmutación" significa "entre la posición observable y el momento observable", lo cual no es cierto en QED. Sin embargo, ese problema también tiene una solución fácil, una que extrañamente falta en el plan de estudios estándar: después de enseñar QM no relativista y antes de enseñar QED, ¡enseñe QFT no relativista! QFT no relativista es un gran puente pedagógico por muchas razones, y esta es una de esas razones. Usando QFT no relativista, donde las matemáticas son fáciles, podemos mostrar a los estudiantes cómo la relación de conmutación posición-momento surge de la relación de conmutación campo-campo. A partir de ahí, aprender por qué no podemos construir un operador de posición estricto en el caso relativista, y por qué todavía podemos obtener$E=\hbar\omega$ directamente de la relación de conmutación campo-campo - debería ser un paso conceptual relativamente fácil.
Esto no depende específicamente de QED, pero es una consecuencia de la propiedad general de la mecánica cuántica de que el momento es el conjugado de posición de Fourier, o alternativamente de la solución de la ecuación de Schrodinger. En unidades naturales, la transformada de Fourier contiene el término$e^{ix\cdot p}$. De ello se deduce que las unidades naturales de impulso son 1 / [longitud] y, de la misma forma, las unidades naturales de energía son 1 / [tiempo]. Así como la relatividad muestra que las unidades naturales de distancia son las mismas que la unidad de tiempo ($c=1$), la mecánica cuántica muestra que las unidades naturales de energía son $\mathrm s^-1$. En otras palabras,$\hbar$es simplemente una constante de conversión entre unidades naturales y energía (o masa). Esto se refleja en la definición actual del SI del kilogramo, en términos de la constante de Planck.