Pregunta de convergencia en probabilidad.

Question

Dejar $\lambda_n = 1/n$ para $n=1,2,\ldots$. Dejar$X_n \sim Poi(\lambda_n)$. Demuestre que a)$X_n \rightarrow_P 0$. b) Deja$Y_n = nX_n$. Muestra esa$Y_n \rightarrow_P 0$ (dónde $\rightarrow_{P}$ denota convergencia en probabilidad)

La parte a) es relativamente sencilla ya que sabemos que $\mathbb{E}(X_n) = \lambda_n = 1/n$ y $\mathrm{var}(X_n) = \lambda_n = 1/n$. Sabemos que desde$X_n >0$ ese $|X_n| = X_n$. Entonces de la desigualdad de Chebyshev sabemos que$$P(X_n >\epsilon) \leq \frac{\mathrm{var}(X_n)^2}{\epsilon^2} = \frac{1}{n^2\epsilon^2} \rightarrow 0\;\mathrm{as\;}n \rightarrow \infty. $$

Para la parte b) no puedo usar este mismo enfoque que $\mathbb{var}(Y_n) = n^2*1/n = n$. También sé que la convergencia en la media cuadrática implica una convergencia en la probabilidad, pero$\mathbb{E}(Y_n - 0)^2 = n^2(\mathbb{E}(X_n^2)) = n^2(1/n + 1/n^2) \not \rightarrow \infty$ como $n \rightarrow \infty$. ¿Algunas ideas?

Answer 1

En caso de que no esté familiarizado con las funciones características (todavía), puede utilizar el hecho de que $$P(nX_{n}=0)=P(X_{n}=0)=e^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 $$ dado que la distribución de Poisson es una distribución discreta con valores en $\mathbb{N} \cup \{0\}$

Answer 2

Una forma de demostrar que $nX_n \to 0$en probabilidad es utilizar funciones características. Recordar que$Ee^{itX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{it})}$. Por lo tanto$Ee^{itnX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{int})} \to 1$ como $ n \to \infty$. Esto implica que$nX_n \to 0$ en distribución que es equivalente a la convergencia en probabilidad.