Pregunta de función hipergeométrica contigua

Aug 18 2020

Me he encontrado con la función hipergeométrica $$_2F_1\left(k+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2};\frac{3}{2},z\right)$$ dónde $k \geq 1$ es un número entero, y creo que es igual a $$\frac{p(z)}{(1-z)^{(4k-1)/2}}$$ dónde $p$ es un polinomio de grado $k-1$(Wolframalpha confirma los primeros valores). Entiendo que esto debe derivarse de alguna relación que involucre funciones hipergeométricas contiguas, pero no sé cómo y no tengo una buena referencia (la biblioteca en mi uni está cerrada para COVID-19). En realidad, no me importan los coeficientes del polinomio, porque solo intento mostrar que una integral es finita. ¿Alguien puede ponerme en el camino correcto?

Muchas gracias Greg

Respuestas

3 Anatoly Aug 18 2020 at 12:53

Se sigue de la transformación de Euler

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\\=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)$$

En tu caso tenemos

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =(1-z)^{\frac 12-2k}{}_{2}F_{1}\left(1-k,1-k;\frac 32;z\right)$$

Ahora, la función hipergeométrica en el RHS se puede expandir como una serie finita de $k$elementos. Esto crea el polinomio de grado$k-1$anotado en el OP. Según la definición de serie de potencia habitual, se reduce a

$$\begin{aligned} &{k=1 \rightarrow 1}\\ &k=2 \rightarrow 1+ \frac{2z}{3}\\ &k=3 \rightarrow 1+\frac{8z}{3}+\frac{8z^2}{15}\\ &k=4 \rightarrow 1+6z+\frac{24z^2}{5}+\frac{16z^3}{35} \end{aligned} $$y así. Generalizando, el polinomio es

$$p(z)=\sum_{n=0}^{k-1} \frac{[(1-k)_n]^2 }{(3/2)_n}\frac{z^n}{n!}$$

dónde $(z)_n$es el símbolo de Pochhammer para factorial ascendente. Concluimos que

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =\frac{p(z)}{(1-z)^{2k-\frac{1}{2}}}$$