Pregunta de función hipergeométrica contigua
Me he encontrado con la función hipergeométrica $$_2F_1\left(k+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2};\frac{3}{2},z\right)$$ dónde $k \geq 1$ es un número entero, y creo que es igual a $$\frac{p(z)}{(1-z)^{(4k-1)/2}}$$ dónde $p$ es un polinomio de grado $k-1$(Wolframalpha confirma los primeros valores). Entiendo que esto debe derivarse de alguna relación que involucre funciones hipergeométricas contiguas, pero no sé cómo y no tengo una buena referencia (la biblioteca en mi uni está cerrada para COVID-19). En realidad, no me importan los coeficientes del polinomio, porque solo intento mostrar que una integral es finita. ¿Alguien puede ponerme en el camino correcto?
Muchas gracias Greg
Respuestas
Se sigue de la transformación de Euler
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\\=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)$$
En tu caso tenemos
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =(1-z)^{\frac 12-2k}{}_{2}F_{1}\left(1-k,1-k;\frac 32;z\right)$$
Ahora, la función hipergeométrica en el RHS se puede expandir como una serie finita de $k$elementos. Esto crea el polinomio de grado$k-1$anotado en el OP. Según la definición de serie de potencia habitual, se reduce a
$$\begin{aligned} &{k=1 \rightarrow 1}\\ &k=2 \rightarrow 1+ \frac{2z}{3}\\ &k=3 \rightarrow 1+\frac{8z}{3}+\frac{8z^2}{15}\\ &k=4 \rightarrow 1+6z+\frac{24z^2}{5}+\frac{16z^3}{35} \end{aligned} $$y así. Generalizando, el polinomio es
$$p(z)=\sum_{n=0}^{k-1} \frac{[(1-k)_n]^2 }{(3/2)_n}\frac{z^n}{n!}$$
dónde $(z)_n$es el símbolo de Pochhammer para factorial ascendente. Concluimos que
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =\frac{p(z)}{(1-z)^{2k-\frac{1}{2}}}$$