pregunta de libro de probabilidad y expectativa IMO

Question

Estaba tratando de resolver este problema, pero no entendí la solución cuando la vi.

Problema: Hay$8$chicas y$7$chicos en una fiesta social, sentados alrededor de una mesa redonda. Si todas las niñas se sientan juntas, entonces solo hay dos niñas junto a los niños. Si las niñas y los niños se sientan lo más alternadamente posible, entonces hay$14$pares de asientos adyacentes para niña y niño. ¿Cuántos pares de asientos hay en promedio que son niños y niñas adyacentes?

Comentarios: Mi problema es que cuando miré la solución no entendí por qué tomaron la probabilidad de$1$par y multiplicado por$15$(el número total de asientos). No estoy convencido de que el hecho de tener una pareja en un asiento sea independiente de tener una pareja en otro asiento ya que la cantidad de niños/niñas restantes es diferente.

¿Puede alguien ayudarme a entender qué está mal con mi razonamiento y por qué la probabilidad de asiento$i,j$tener un par independiente del asiento$j,j+1$tener un par?

Answer 1

Dejar$A$sea ​​el grupo abeliano cíclico$\Bbb Z/15$con$15$elementos. Considere el espacio$\Omega$de todo$\omega:A\to\{0,1\}\subset \Bbb R$, de modo que$\sum \omega=8$. Aquí nos identificamos$\omega$con una tupla$(\omega_0,\omega_1,\dots,\omega_{14})$y$\sum\omega$es la suma de los componentes de$\omega$. Definimos las variables aleatorias$X_a$por$a\in A$definido por$X_a(\omega)=\omega_a$.

(Consideramos que una niña corresponde a un$1$entrada en$\omega$, un niño a un$0$entrada, y use el orden cíclico de los índices para dejarlos sentarse en el mismo orden cíclicamente alrededor de la mesa redonda).

La función que da el número de pares adyacentes$01$y/o$10$es la variable aleatoria$Z$...$$ \begin{aligned} Z(\omega)&=\sum_{a\in A}|\omega_a-\omega_{a+1}|\ ,\text{ so}\\ Z&=\sum_a|X_a-X_{a+1}|\ . \\ &\qquad\text{ Then:} \\ \Bbb E Z &=\Bbb E\sum_a|X_a-X_{a+1}|\\ &=\sum_a\Bbb E|X_a-X_{a+1}|\\ &=|A|\cdot\Bbb E|X_0-X_1|\ , \end{aligned} $$la última línea usando la simetría cíclica en$\Omega$inducida por la acción de$A$.

Este argumento "desagrega" la información y nos permite ver solo los asientos etiquetados$0$y$1$.