Pregunta en Milnor&Stacheff - Clases características, construcción de clases de Chern
El siguiente párrafo está extraído del libro:
Ahora daremos una definición inductiva de clases características para un complejo$n$-paquete plano$\omega=(\pi: E\to M)$. Si primero es necesario construir una canónica$(n-1)$-paquete plano$\omega_0$sobre el espacio total eliminado$E_0$. ($E_0$denota el conjunto de todos los vectores distintos de cero en$E$.) Un punto en$E_0$está especificado por una fibra$F$de$\omega$junto con un vector distinto de cero$v$en esa fibra. Primero suponga que se ha especificado una métrica hermitiana en$\omega$. Entonces la fibra de$\omega_0$es por definición, el complemento ortogonal de$v$en el espacio vectorial$F$. Este es un espacio vectorial complejo de dimensión$n-1$, y estos espacios vectoriales claramente pueden considerarse como las fibras de un nuevo haz vectorial$\omega_0$sobre$E_0$.
Pregunta: Entendí cómo el espacio total de$\omega_0$se define. Pero, ¿cómo se define la topología del espacio total? No hay mención al respecto.
Respuestas
Considere las siguientes asignaciones:
$\require{AMScd}$ \begin{CD} \pi^*E @>>> E\\ @V \bar\pi VV @VV \pi V\\ E @>>\pi> M \end{CD}
que induce un paquete pullback$\bar \pi : \pi^*E \to E$, donde para cada$v\in E$,$$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$(es decir, la fibra es solo la fibra$F_x$, dónde$x = \pi(v)$).$\pi^*E$se da la topología del paquete pullback. Ya que$E_0$es un subconjunto de$E$, la restricción da un paquete
$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$
y el paquete$\omega_0$construido en el libro es un sub-paquete de (1). Plus tiene la topología del subespacio dada por (1).