Pregunta sobre convergencia / divergencia de sumas de recíprocos de enteros positivos
Al estudiar las pruebas de convergencia conocidas más comunes, encontré que en algunos casos tales pruebas no son concluyentes (por ejemplo, prueba de razón cuando $r=1$, prueba de comparación cuando la serie es condicionalmente convergente, etc.), así que he estado pensando en alguna posible prueba de convergencia para series que involucran sumas de recíprocos de enteros positivos.
La lógica detrás de esta prueba es la siguiente: de alguna manera, la densidad de subconjuntos dados de enteros positivos se puede evaluar y comparar a través de sus sumas parciales. Por ejemplo, es intuitivo que un conjunto de$n$ enteros positivos tales que $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ es más denso que un conjunto de $n$ enteros positivos tales que $\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
Echando un vistazo a algunas de las series más conocidas de recíprocos de números enteros positivos, es fácil ver que precisamente $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ es la suma parcial correspondiente al subconjunto más denso posible de enteros positivos, ya que es la suma de enteros positivos consecutivos que comienzan en $1$. Es conocido y fácilmente demostrable que la suma$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_{k}}$ diverge, a una tasa de aproximadamente $\ln(n)$. Otra secuencia divergente conocida, la suma de recíprocos de números primos, diverge a una tasa de aproximadamente$\ln\ln(n)$, y la suma parcial de números primos consecutivos es aproximadamente $\sum_{k=1}^{n}p_k=\frac{1}{2}n^2\ln(n)$. Sin embargo, la suma parcial ya anotada$\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ corresponde al conjunto de números triangulares, y tenemos que $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{b_{k}}=2$.
La posible prueba de convergencia declarada se basa en la existencia de alguna función $F(n)$, acotado como $\frac{1}{2}n^2\ln(n)<F(n)<\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, tal que para cada subconjunto infinito de enteros positivos $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ tal que $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, entonces podemos afirmar que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; y si$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, entonces podemos afirmar que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$.
Por tanto, la prueba se basaría en la suma de los denominadores de la secuencia, y tendría la siguiente forma:
(Posible) Prueba de convergencia
Dado algún subconjunto infinito de enteros positivos $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ tal que $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, entonces podemos afirmar que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; y si$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, entonces podemos afirmar que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$
La pregunta ahora es: ¿es posible la existencia de tal función $F(n)$? ¿Es compatible con el hecho demostrado aquí:https://math.stackexchange.com/questions/452053/is-there-a-slowest-rate-of-divergence-of-a-series#:%7E:text=Talking%20about%20getting%20closer%20to,%22the%20slowest%20diverging%20series%22?
Creo que es posible la existencia de tal función, y que sería compatible si no existiera ninguna suma parcial de enteros positivos igual a $F(n)$. Por ejemplo, si hipotéticamente$F(n)=n^e$, no existiría ningún conjunto de enteros positivos tales que la tasa de convergencia / divergencia fuera $0$.
Cualquier comentario / conjetura sobre cómo 1) probar la existencia o no existencia de $F(n)$y 2) aproximando $F(n)$ sería bienvenido!
Respuestas
Desafortunadamente, incluso una función de rápido crecimiento $F(n)$ no asegura $1/a_n\to 0$. Por ejemplo, pon$a_{2k}=k!$ y $a_{2k+1}=1$ para cada natural $k$. Incluso cuando lo requerimos$\{a_n\}$ no es decreciente, su rápido crecimiento puede no asegurar la convergencia de una serie $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$. Por ejemplo, para cada función de aumento muy rápido$g:\Bbb N\to\Bbb N$ deja la secuencia $\{a_n\}$ consta de bloques consecutivos de números $g(k)$ y longitud $g(k)$. Entonces una secuencia$\{1/a_n\}$ diverge, pero una secuencia $\{\sum_{i=1}^{n} a_i\}$ tiene grandes saltos en $g(k+1)$ en cada $n(k)=1+\sum_{i=1}^k g(i)^2$.
Por otro lado, la desigualdad entre medias aritméticas y armónicas implica que $$\sum_{i=1}^n \frac 1{a_i}\ge \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n a_i},$$ por lo tanto, si el lado derecho de esta desigualdad no está acotado, entonces la serie $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$ diverge.