Pregunta sobre desigualdades fraccionarias
$a,b$son enteros positivos. Dejar$\frac{a}{b}$sea la fracción con el menor denominador posible$b$tal que$\frac{386}{2019}$<$\frac{a}{b}$<$\frac{35}{183}$. Determinar el valor de$a+b$.
He intentado simplificar la desigualdad, pero estoy atascado. Sin embargo, sé que como$b$tiene que ser el más pequeño, también$a$.
¿Alguna idea de cómo debo hacer esta pregunta? Gracias por cualquier ayuda.
Respuestas
Tal vez lo siguiente ayude.
Tenemos$$386b+1\leq2019a$$y$$35b\geq183a+1.$$podemos resolver la ecuacion$35b=183a+1,$lo que da$$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$dónde$k\geq0$es un número entero, lo que da una fracción$\frac{13}{68}.$
Fácil de ver eso$\frac{13}{68}$no es válido.
Ahora, podemos tomar$k=1$,$k=2$,...
Además, podemos resolver la ecuación$386b+1=2019a,$lo que da$$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$dónde$k\geq0$es entero.
Fácil de ver eso$\frac{373}{1951}$es válida.
Tengo eso en el primer caso$k=1$es válido, lo que da$\frac{48}{251}.$
La fracción continua de$386/2019$es$[0; 5, 4, 2, 1, 29]$.
La fracción continua de$35/183$es$[0; 5, 4, 2, 1, 2]$.
Entonces, la fracción más simple que se encuentra estrictamente entre estos números tiene una fracción continua$$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$