Primera forma fundamental

Question

Wolfram MathWorld define un paraboloide y sus parámetros diferenciales como

\begin{align*} P&=\left(\frac{\partial x}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{du}\right)^2= \\ &=1+\frac{1}{4u} \\ Q&=\frac{\partial x}{du}\frac{\partial x}{dv}+\frac{\partial y}{du}\frac{\partial y}{dv}+\frac{\partial z}{du}\frac{\partial z}{dv}= \\ &=\frac{1}{2\sqrt{u}}(\cos v - \sin v) \\ R&=\left(\frac{\partial x}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{dv}\right)^2= \\ &=u \\ \end{align*}

Ahora bien, si estos parámetros corresponden a los coeficientes$E$,$F$y$G$descrito aquí , no entiendo cómo llegaron a la expresión para$Q$.

Answer 1

A pesar de otros comentarios/respuestas, estas cantidades son la primera forma fundamental habitual. Tenga en cuenta que el enlace Wiki define$g_{ij} = X_i\cdot X_j$. Estos son los habituales$E,F,G$, y son los productos punto de las derivadas de la parametrización con respecto a las variables independientes. En su caso, el primer parámetro es$u$y el segundo parámetro es$v$, y de hecho tenemos\begin{align*} P&=X_u\cdot X_u=E,\\ Q&=X_u\cdot X_v=F, \quad\text{and} \\ R&=X_v\cdot X_v=G. \end{align*}No estoy seguro de por qué Wolfram usa letras diferentes.

Si desea una referencia adicional, consulte mi texto de geometría diferencial .

Answer 2

La primera forma fundamental es el producto interior del espacio tangente en algún punto de la superficie cuando se considera la superficie contenida en el espacio ambiente$\mathbb{R}^3$. Si tienes un paraboloide$z=b(x^2+y^2)$, entonces los vectores tangentes de la superficie que genera el espacio tangente son

$v=[1,0, 2bx]$

y

$w=[0,1,2by]$

En este punto, los coeficientes de la primera forma fundamental se pueden calcular de la siguiente manera

$E=\langle v, v \rangle=1+4b^2x^2$

$F=4b^2xy $

$G=1+4b^2y^2$

En su enlace sobre paraboloide, supongo que el argumento es una geodésica en el paraboloide.