Probabilidad de aprobar un examen dados dos esquemas de calificación diferentes
Tuve una discusión con un compañero sobre la probabilidad de aprobar un examen dados dos esquemas de calificación diferentes y no estoy seguro de creer lo que dijo mi compañero.
Afirmaron que dado un examen con 10 preguntas donde la calificación aprobatoria es 5 preguntas correctas y un examen con 6 preguntas donde la calificación aprobatoria es 3 preguntas, sería mejor tomar el examen con 10 preguntas ya que hay una mayor probabilidad de aprobar . No compré el argumento ya que parece que los exámenes son equivalentes, es decir, se necesita un 50% para aprobar cualquiera de los dos. Sin embargo, mi compañero se mantuvo firme en su punto. ¿Alguien puede aclarar esto?
Respuestas
Lo correcto o incorrecto de la declaración de su compañero depende de la probabilidad de éxito de responder cada pregunta correctamente.
Si supone que la prueba es un conjunto de$2N$preguntas de verdadero/falso, con N respuestas correctas requeridas para aprobar, donde su probabilidad de responder cualquier pregunta es$p$, entonces la probabilidad$P$de pasar la prueba es tal que:
por$p<0.5$,$P$cae monótonamente con el aumento de N y en el límite de$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 0$, por lo que siempre será preferente elegir la prueba con el menor número de preguntas.
por$p=0.5$la probabilidad de pasar todavía cae con el aumento de N (pero ahora asíntotas a 0.5),$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 0.5$, por lo tanto, elija la prueba con la menor cantidad de preguntas.
por$0.5<p<2/3$la probabilidad de pasar inicialmente cae al aumentar N, pero luego aumenta al aumentar N y en el límite$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 1.0$, por lo que su elección dependería del número máximo de preguntas. Por ejemplo, si$p=0.51$luego hacer una prueba con$N\simeq570$preguntas es marginalmente mejor que hacer una prueba con$N=2$preguntas.
por$p>2/3$la probabilidad de pasar aumenta monótonamente al aumentar N, y en el límite$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 1.0$, por lo que siempre debe elegir la prueba con más preguntas.
En su ejemplo, al elegir una prueba de 6 preguntas o de 10 preguntas, su probabilidad de éxito será aproximadamente igual si$p\simeq0.564$(en ese caso$P\simeq0.7674$), sería mejor hacer la prueba de 6 preguntas si$p<0.564$, pero debe elegir la prueba de 10 preguntas si$p>0.564$.
Tu amigo está equivocado, asumiendo que estás lanzando una moneda para determinar si tienes razón o no. Ambos han olvidado que una puntuación de 0 es posible, lo que significa que la posibilidad de aprobar no es del 50 % para ninguno de los dos.
En la prueba con 10 preguntas, 6 de 11 puntajes posibles pasan. En la prueba de 6 preguntas, se aprueban 4/7 puntajes. Si estás lanzando monedas, entonces las probabilidades de pasar son
$$ \frac{1}{2^6}\sum_0^3 {6 \choose k} $$o$$ \frac{1}{2^{10}}\sum_0^6 {10 \choose k} $$
Para las pruebas de seis y diez preguntas respectivamente. Eso es 65% para la prueba de 6 preguntas y 62% para la prueba de 10 preguntas.
Es mejor tomar el examen de 6 preguntas si realmente cree que cada pregunta es un lanzamiento de moneda para saber si tiene razón.
Respuesta: depende, pero para una prueba de verdadero/falso, su compañero es incorrecto.
Obtener 5 correctos y 5 incorrectos es cómo ordenar RRRRRWWWWW donde R es correcto y W es incorrecto. Existen$\binom{10}{5} = 252$maneras. Del mismo modo para 6 a la derecha, 7 a la derecha, etc.
Esto es$\sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}$, lo que equivale$638$. dividiendo por$2^{10}$nos lleva aprox.$0.623$.
Ahora, acertar 3 y equivocarse en 3 es ordenar RRRWWW. queremos encontrar$\sum_{i=0}^{3} \binom{6}{i}$, que sale a$42$. dividiendo por$2^6$nos lleva aprox.$0.652$.
$0.623 < 0.652$, por lo que su compañero es incorrecto.