Probabilidad de estar en un grupo dentro de un equipo
Ha pasado un tiempo desde que estuve en la escuela, así que mis matemáticas están muy oxidadas.
Hay un juego al que he estado jugando donde hay un grupo de diez jugadores, y dos son seleccionados al azar como "impostores".
¿Cuál es la probabilidad de que me elijan como uno de los impostores?
Lo razoné como:
Número de formas en que puedo ser un impostor =$\binom{1}1$.
Número de formas para que la segunda persona sea elegida como impostor =$\binom{9}1$.
Espacio muestral total =$\binom{10}2\binom{8}8$.
Entonces la probabilidad de que sea un impostor es$$\frac{\binom{1}1\binom{9}1}{\binom{10}2\binom{8}8}= \frac{9}{45}$$
cuando miré$m$impostores y$n$jugadores, utilicé la misma lógica para obtener una probabilidad final de$\frac{m}{n}$. Por alguna razón, no esperaba este resultado (que sería simplemente una proporción plana). ¿Hay algo de intuición en esto? Esperaba que el resultado fuera menos de$m/n$, ya que parece haber tantas permutaciones para elegir un equipo de$m$impostores, (por ejemplo, si$m = 10$,$n = 140$)
Respuestas
El numerador es incorrecto: Estás buscando formas en las que eres uno de los impostores. Hay 9 posibilidades, a saber, usted y otra persona, donde se elige a otra persona entre 9 personas. Tenga en cuenta que el orden de usted y la otra persona no es importante, por lo que basta con elegir a la otra persona.
Editar: en general, tienes$n$personas (incluido usted) y$m$impostores
La probabilidad de que seas un impostor es:$\frac{n-1\choose {m-1}}{n\choose m}=\frac{m}{n}$. El numerador es nuevamente el número de impostores excepto tú, y el denominador es nuevamente la elección de los impostores sin más restricciones involucradas.
Esto, en mi opinión, es realmente muy intuitivo: m de cada n personas son impostores, por lo que tienes$m/n$probabilidad de ser un impostor. Esto es algo así como "1 de cada 300 personas tiene coronavirus, por lo que la probabilidad de que lo tengas (desde un punto de vista muy objetivo, no te conozco en absoluto) es 1/300.