Probabilidad de que un paciente tenga una enfermedad $X$

Question

Enfermedad $X$ solo está presente en $0.1$% de pacientes examinados. La prueba es positiva$99$% de las veces que el paciente tiene enfermedad $X$. Si le hacen la prueba de la enfermedad y da positivo, entonces la probabilidad de que tenga la enfermedad$X$ es $10$%. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona dé positivo cuando no tiene la enfermedad?$X$?

Lo que he probado:

Dejar $A$ ser la probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad $X$y $B$ sea ​​la probabilidad de que den positivo.

Luego $P(A)=0.001$, lo que implica $P(\bar{A})=0.099$ y $\displaystyle P(B/A)=0.99$. Ahora tenemos que encontrar$\displaystyle P(B/\bar{A})$.

También tenemos aquí: $$P(B)=P(A)P(B/A)+P(\bar{A})P(B/\bar{A}).$$

Parece que podemos aplicar el teorema de Bayes. Pero no entiendo cómo aplicar la fórmula aquí.

Answer 1

Usando el teorema de Baye, la probabilidad de dar positivo es:

\ begin {align *} P (\ text {enfermedad} | \ text {+ prueba}) = & \ \ frac {P (\ text {+ prueba} | \ text {enfermedad}) P (\ text {enfermedad}) } {P (\ text {+ prueba})} \\ P (\ text {+ prueba}) = & \ P (\ text {+ prueba} | \ text {enfermedad}) P (\ text {enfermedad}) + P (\ text {+ prueba} | \ text {$\neg$enfermedad}) P (\ text {$\neg$enfermedad}) \\ = & \ .99 * 0.001 + 0.999x \ end {align *}

Podemos encontrar $x = P(\text{+test}|\text{$\ neg$disease})$ resolviendo la siguiente ecuación (estoy mezclando porcentajes con decimales):

\begin{align*} 0.1 = \frac{.99 * 0.1\%}{.99*0.1\% + 99.9\%x}\\ .0099 + 9.99x = .099 \\ x = \frac{0.0891}{9.99} \approx 0.00891891892 \end{align*}

Lo que significa que la probabilidad de una prueba positiva dado que no tienen la enfermedad es aproximadamente $0.89\%$.