Probabilidad de seleccionar una mano de póquer

Aug 18 2020

Estoy tratando de resolver un problema de probabilidad sobre una mano de póquer de cinco cartas. Tengo acceso a la respuesta que es diferente a la que se me ocurrió. La pregunta es:What is the probability that a five-card poker hand has exactly two cards of same value, but no other cards duplicated?

Mi respuesta a esta pregunta fue la siguiente: $\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$. Lo que significa:

  1. Primero seleccione un número de tarjeta y luego seleccione sus dos palos, es decir. $\binom{13}{1} \binom{4}{2}$. Estas serán las dos cartas del mismo valor.
  2. Seleccione otras tres tarjetas que no estén duplicadas como: $\binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$.

La respuesta correcta no coincide con mi respuesta. Esta respuesta se proporciona en el libro AOPS y es como:$\binom{13}{1} \binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.

Entonces la pregunta es, ¿qué estoy haciendo mal? Gracias

Respuestas

2 user Aug 18 2020 at 20:42

Por regla de producto , después del primer número de tarjeta seleccionado y sus dos palos, debemos seleccionar$3$ tarjetas con $3$ diferentes valores que es $\binom{12}{3}$ y luego para cada uno podemos elegir entre cuatro palos que es $\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$. Por su método las selecciones$\binom{48}{1}$ y otros dos subsiguientes son incorrectos porque los está contando en exceso (por ejemplo, $3,5,8$ sería diferente de $5,3,8$). Por lo tanto, a tu manera de contar, debes dividir entre$3!=6$.

3 tommik Aug 18 2020 at 20:43

la solución de tu libro es correcta. Vamos a explicar la lluvia de ideas correcta.

Para obtener exactamente un par en 5 sorteos, tiene:

  • 13 opciones para elegir el par {AA, 22,33, ...}

  • por cada par que tienes $\binom{4}{2}$ opciones para elegir el palo: corazones, diamantes, tréboles o espadas

  • para los 3 sorteos restantes tienes $\binom{12}{3}$ opciones de diferentes tarjetas

  • para cada una de las opciones anteriores que tienes $4^3$ opciones para el palo: corazones, diamantes, tréboles o espadas

  • multiplique todos los puntos previos obteniendo.

$$13\times\binom{4}{2}\times\binom{12}{3}\times4^3$$

3 N.F.Taussig Aug 18 2020 at 20:44

Suponga que selecciona la mano $7\heartsuit, 7\spadesuit, 5\clubsuit, 9\diamondsuit, J\spadesuit$. Tu método cuenta esta mano$3! = 6$ veces, dependiendo del orden en el que seleccione los tres singletons.

No importa el orden en el que se seleccionen los tres singletons, por lo que la respuesta correcta selecciona tres rangos de los que se extrae una sola carta y luego selecciona una carta de cada uno de esos rangos.

Observa eso $$\frac{1}{6}\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{48}{1}\binom{44}{1}\binom{40}{1} = \binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$

3 ȘtefanDumitrescu Aug 18 2020 at 20:55

Número de casos posibles: $ c_p = \binom{52}{5} $.

Número de casos favorables:

Elija la primera suite de tarjetas: $ \binom{13}{1} \binom{4}{2} $.
Tenga en cuenta que el primer binomio se usa para elegir un número de tarjeta y el segundo para elegir dos símbolos de cuatro.

Elija los tres conjuntos de cartas distintos: $ \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3 $ Tenga en cuenta que el primer binomio se usa para elegir tres cartas y el segundo para elegir solo un símbolo para cada una de las tres cartas.

Resultado: $$ p = \frac{\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3}{\binom{52}{5}}. $$

En su solución, los últimos tres binomios pueden proporcionar un conjunto de tres cartas idénticas, porque solo elige cartas, no símbolos.

2 FormulaWriter Aug 18 2020 at 20:43

Usted y el libro cuentan de manera diferente cómo seleccionar las tres cartas restantes. Tu respuesta es:$$ \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1} = 48 \cdot 44 \cdot 40 = 4^3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$$ La respuesta del libro es: $$\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 4^3 \cdot \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}$$ Se diferencian por un $3!$factor, que es precisamente el número de permutaciones de tres objetos distintos. Esto sugiere que está considerando el orden de las tres cartas restantes.