Probar $\Bbb Z_n$es un grupo bajo módulo de adición: la parte asociativa. [duplicar]

Question

Por que es $\Bbb Z_n =\{0,1,2,3,4,...,n-1\}$ un grupo bajo módulo de adición?

Solo se necesita parte asiativa. Es decir, estoy atascado probando eso por$a,b,c \in \Bbb Z_n$, tenemos: $$(a + b \pmod{ n} + c) \pmod {n} = a + (b + c \pmod{n}) \pmod n.$$

O tal vez dicho de forma más clara. Con$+_n$ denota "$+ \pmod{n}$": $(a +_n b) +_n c = a +_n ( b +_n c)$.

-Gracias

Answer 1

Los elementos de $\Bbb Z_n$son clases de equivalencia de enteros, así:

$$[a]_n:=\{b\in\Bbb Z:n\mid a-b\},$$

dónde $a\in \Bbb Z.$

La adición se define de la siguiente manera:

$$[a]_n+_n[b]_n:=[a+b]_n.$$

Ahora la asociatividad que necesita se deriva de la asociatividad de la suma: para cualquier $[a]_n,[b]_n,[c]_n\in\Bbb Z_n$, tenemos

$$\begin{align} [a]_n+_n([b]_n+_n[c]_n)&=[a]_n+_n[b+c]_n\\ &=[a+(b+c)]_n\\ &=[(a+b)+c]_n\\ &=[a+b]_n+_n[c]_n\\ &=([a]_n+_n[b]_n)+_n[c]_n. \end{align}$$