Probar $\int_{-\pi}^\pi F_n(y) \, dy=1$

Question

Probar $\int_{-\pi}^\pi F_n(y)\,dy=1$, con $$F_n(y)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left( \frac{(n+1)y}{2} \right)}{\sin^2(\frac{y}{2})}$$

Intenté una pregunta similar pero allí le había dado una serie de la función. Esta vez no sé si hay una serie que me pueda ayudar con esto. Lo probé sin serie:

\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_n(y) \, dy &= \int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)} \frac{\sin^2\left(\frac{(n+1)y}{2}\right)}{\sin^2(\frac{y}{2})} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{\frac{i(n+1)y}{2}}-e^{\frac{-i(n+1)y}{2}})^2}{(e^\frac{iy}{2}-e^\frac{-iy}{2})^2} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{i(n+1)y}+e^{-i(n+1)y}-2)}{(e^{iy}+e^{-iy}-2)} \, dy \end{align}

Pero ahora estoy atascado de nuevo. Creo que debe haber una forma más sencilla de demostrarlo. ¿Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Tienes

$$F_n(x) = \frac{2\pi}{n+1}D_n^2(x)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx} \right)^2= \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}.$$

de lo que sigue cambiando $\int$ y $\sum$ las igualdades

$$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}F_n(x) \ dx&= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)^2 \ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^ne^{i(k+l)x}\ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^n \int_{-\pi}^{\pi}e^{i(k+l)x}\ dx\\ &=1 \end{aligned}$$

como en la suma doble, los únicos términos que no desaparecen son para $k=-l$ y aquí están $n+1$ tales términos.

Answer 2

Pista: deja$$D_n(x)= \sum_{k=-n}^n e^{ikx},$$ y deja $$F_N(x) = \sum_{n=0}^{N-1} D_n(x).$$ Pruebalo $$ F_N(x) = \frac{1}{N}\frac{\sin^2 (Nx/2)}{\sin^2 (x/2)}.$$

$D_n$ se conoce como el núcleo de Dirichlet y $F_N$ se conoce como el núcleo de Fejér.

Answer 3

Aquí está para integrar sin recurrir a series

\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_{n}(y)dy & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{2}\frac{(n+1)y}{2}}{\sin^{2}\frac{y}{2}}dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-1}{\cos y-1} dy \\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-\cos(n+1)a}{\cos y-\cos a} dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\frac{\pi\sin(n+1)a}{\sin a}\\ &=1 \end{align} donde el resultado $$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx = \frac{\pi \sin(na )}{\sin a}$$derivada en integral trigonométrica paramétrica$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx$ se utiliza.