Problema con la factorización $x^4-x^3+x^2-x+1$

Question

Quiero calcular la siguiente integral usando una fracción parcial: $$\int{1\over x^5+1}dx$$Entonces descompongo el denominador:

$$x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$

Para el siguiente paso, busqué en Internet y descubrí que debería descomponer$x^4-x^3+x^2-x+1$ Me gusta esto:

$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$$

Y entonces $a,b$ se puede encontrar fácilmente.

Mi pregunta es ¿Por qué los coeficientes de $x^2,x^0$ son $1$?

Porque puedo reescribir:

$$x^4-x^3+x^2-x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$$

Y lo único que puedo ver a primera vista es $ad=1,cf=1$ y no tengo ni idea de por qué $a=d=c=f=1$

Puedes ver su respuesta a continuación:

Answer 1

En general, los dos polinomios se dan hasta la multiplicación de una constante (puedes multiplicar uno por $k$ y otro por $1/k$), para que pueda organizarlo de manera que $a=d=1$Está garantizado. Por ejemplo$x^2+4x+4$ se puede factorizar como $(x+2)(x+2)$ pero también como $(2x+4)(\frac{1}{2}x+1)$. Así que somos libres de fijar uno de los coeficientes para que la respuesta sea única. Sin embargo, si hace esto, entonces no tiene la opción para otros, por lo que un comienzo correcto aquí es algo como $$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2−ax+b)(x^2−cx+d).$$

Seguro que puedes hacer algunos cálculos más para obtener más información sobre los coeficientes constantes, pero no antes.

También el siguiente ejemplo ligeramente modificado muestra que suponiendo que tanto los coeficientes principales como los constantes son $1$ desde el principio está mal:

$$ x^4-x^3+x^2+x+1=\\(x^2+0.86676039+0.46431261)(x^2-1.86676039x+2.15372137) $$

Sin embargo, como se señaló en la otra pregunta vinculada, en este caso probablemente se usó (pero no se explicó) que el polinomio es palindrómico (auto-recíproco), lo que implica que sus raíces vienen en pares $\alpha, \frac{1}{\alpha}$ (es el resultado de $x^4f(1/x)=f(x)$). Esto le permite esperar los factores en una forma$$(x-\alpha)(x-\frac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\frac{1}{\alpha})x+1,$$ o más genérico $x^2-ax+1$.

Answer 2

Suponga que tiene un polinomio monic (por ejemplo, coeficiente principal de 1) de cuarto grado $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ que factorizas en dos polinomios de segundo grado:
$(ex^2 + fx + g) \times (hx^2 + ix + j).$

Luego, puede dividir cada coeficiente del primer polinomio por $e$ y multiplicar cada coeficiente del segundo polinomio por $e$. Esto produce: $(x^2 + [f/e]x + [g/e]) \times ([he]x^2 + [ie]x + [je]).$

Sin embargo, dado que el producto de estos dos polinomios es
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$,
a continuación,$h \times e$ debe = 1. $

Por lo tanto, el polinomio mónico de cuarto grado se ha factorizado en dos polinomios mónicos de segundo grado. Como otros han señalado, bajo esta factorización, solo porque el coeficiente $ x ^ 0 $ en el polinomio de cuarto grado sea 1 no significa que los coeficientes $ x ^ 0 $ en los dos polinomios de segundo grado tengan que ser uno. Todo lo que puede decir con seguridad es que el producto de los dos coeficientes $ x ^ 0 $ en los dos polinomios de segundo grado debe = 1.

Si entiendo correctamente, sucedió que cuando el polinomio monic de cuarto grado dado en la consulta original se factoriza en dos coeficientes monic de segundo grado, para ese coeficiente particular de cuarto grado, los polinomios monic de segundo grado resultantes tienen su $ x ^ 0 $ coeficientes cada uno = 1.

Apéndice Centrándose en el polinomio de cuarto grado original del OP

En primer lugar, considere el polinomio de cuarto grado que es igual a
$ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]). $
Este es un contraejemplo simple cuyo producto tendrá la forma $ x ^ 4 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + 1. $

Editar Bueno, esto es vergonzoso:

Me acabo de dar cuenta de que mi contraejemplo anterior es defectuoso . Es decir, cuando $ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) $ se combina en un polinomio monico de cuarto grado, puede haber formas alternativas de factorizar este cuarto grado polinomio que se ajusta al patrón que se sugirió originalmente al OP.

De todos modos, el resto de este apéndice analiza las restricciones de una manera muy similar a la https://math.stackexchange.com/questions/3792716/what-is-the-meaning-of-symmetry-of-the-coefficients enlace que alguien ya comentó.

Todo este análisis plantea la pregunta de por qué aparentemente hubo una sugerencia de factorizar
$ f (x) = x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + 1 $ en
$ (x ^ 2 - ax + 1) \ veces (x ^ 2 - bx + 1). $

Supongo que lo que realmente está sucediendo es que se ha conjeturado que $ f (x) $ se puede factorizar así.

En consecuencia, se le pide al estudiante que explore la conjetura y vea si es cierta. La exploración conduce a las siguientes restricciones en $ a $ y $ b $ :

(1) re $ x ^ 3: a + b = 1. $
(2) re $ x ^ 2: 2 + (a \ times b) = 1. $
(3) re $ x ^ 1: a + b = 1. $

Observe que tiene tres restricciones en las dos variables $ a $ y $ b. $

Sin embargo, dado que las restricciones (1) y (3) resultan ser idénticas, termina con solo dos restricciones.

Incluso si ambas restricciones (1) y (2) fueran lineales, esto todavía no garantizaría (en general) una solución [por ejemplo, r + s = 6. 2r + 2s = 11].

En el caso presente, la restricción (2) no es lineal, lo que la hace aún más dudosa. Nota: Estoy en hielo delgado aquí, nunca he estudiado el efecto de combinar 1 restricción lineal con 1 restricción no lineal.

Sin embargo , explorando según lo previsto, presumiblemente, se pueden encontrar valores satisfactorios de $ a $ y $ b $ . Echando un vistazo a $ f (x), $ observe que la restricción (3) es idéntica a la restricción (1) precisamente porque en $ f (x) $ los coeficientes $ x ^ 3 $ y $ x ^ 1 $ son idénticos.

Por tanto, se podría argumentar que la conjetura sugerida estaba bien motivada.