Problema con la solución de un problema clásico de momento angular [cerrado]
Estaba haciendo una tarea de introducción a la física. En una mesa sin fricción, dos cuerdas ideales con masas en sus extremos pueden girar libremente como se ve en la figura.
Entonces, ambas masas chocan elásticamente. Tengo que derivar la siguiente relación$a^2m_1(\omega_1-\omega')=b^2m_2(\omega_2'-\omega)$ siendo $\omega'$ la velocidad angular después de la colisión.
Entonces mi maestro usa la conservación del momento angular, agregando la forma escalar de ambos momentos angulares con respecto a sus centros de rotación. Pero, esto es correcto? Quiero decir, nos enseñó toda la física en forma vectorial, así que hacer el problema sin explicar lo que hizo me confunde. ¿No se supone que debemos elegir primero un origen para calcular el momento angular?
Así es como mi profesor hace el ejercicio: $\sum L=a^2m_1\omega_1+b^2m_2\omega_2$
Cómo supongo que puedo resolver el problema: $\sum L=\vec{r_{1O}}\times\vec{p}_1+\vec{r_{2O}}\times\vec{p}_2$ siendo $O$ un origen arbitrario.
Respuestas
Después de pensar más en esto, no creo que el momento angular de$m_1$ sobre A más el momento angular de $m_2$ sobre B se conserva.
Así es como resuelvo el problema usando $\tau \enspace\Delta t = \Delta L$, dónde $\tau$ es torque y $L$es el momento angular. Xa$m_1$ considerando el par alrededor de A debido a la colisión, $F_{m_2onm_1}\enspace a \enspace \Delta t = m_1a^2(\omega _1^{'} - \omega _1)$. Xa$m_2$ considerando el par sobre B, $F_{m_1onm_2} \enspace b\enspace \Delta t = m_2b^2(\omega _2^{'} - \omega _2)$. $F_{m_1onm_2} = -F_{m_2onm_1}$. Entonces$m_1a(\omega _1^{'} - \omega _1) = - m_2b(\omega _2^{'} - \omega _2)$.
Obtienes la misma respuesta usando la conservación del momento lineal: $m_1(v_1^{'} - v _1) + m_2(v _2^{'} - v_2) = 0$ ya que $v_1 = a\omega_1$ y $v_2 = b\omega_2$. (Las fuerzas de tensión sobre las masas de las cuerdas son insignificantes en comparación con la fuerza del impacto durante la colisión. Después de la colisión, las tensiones de las cuerdas solo restringen el movimiento a circular).
No creo que el momento angular de$m_1$ sobre A más el momento angular de $m_2$sobre B se conserva. (Comparto su preocupación por no utilizar un punto común para evaluar el momento angular).
Para una colisión elástica, la energía cinética también se conserva y eso, junto con la relación anterior, le permite resolver para $\omega_1 ^{'}$ y $\omega_2 ^{'}$ en términos de $\omega_1$ y $\omega_2$.
Tratar de resolver el momento angular usando un punto común, digamos A, es complicado ya que debe considerar la fuerza / torque de "bisagra" en B, como lo señaló anteriormente @ SteelCubes.
Consulte Si una bola que gira sobre una barra golpea a otra bola, ¿cuál es el momento lineal o angular conservado? en este intercambio.
En realidad, el momento angular es una cantidad vectorial y lo hizo bien. Lo que te perdiste es que el momento angular es perpendicular al plano de movimiento. Y aquí, tanto las colisiones como los movimientos independientes de la bola ocurren en el mismo plano (digamos, plano de su cuaderno). Entonces, los momentos angulares deben estar en la dirección perpendicular al plano del cuaderno. (Ya estoy asumiendo que lo entendiste, por qué se conserva el momento angular). Entonces, aquí, te quedan 2 cantidades vectoriales (momentos angulares de la bola 1 y la bola 2) dirigidos a lo largo de la misma línea. (Espero que no lo confunda, pero el momento angular es un vector libre. Por lo tanto, todos los vectores de momento angular paralelos y antiparalelos pueden tratarse como vectores a lo largo de la misma línea). Asumamos esta dirección ^ n . Y debe saber que un vector dirigido a lo largo de ^ n de magnitud A es A ( ^ n ) y A es un escalar. Y cualquier vector paralelo se le puede sumar o restar como si también fueran escalares.