Propiedad de la función Injective-Continuous en Compact-set.

Question

Si $A \subset\mathbb{R}^n$ donde A es compacto y $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ es continuo.

Si f es inyectiva, entonces los puntos en $A$ en el cual $f$ alcanza máximos y mínimos globales son puntos límite de $A$. ¿Es cierta la afirmación? El motivo de esta pregunta proviene de aquí .

Answer 1

Claramente, su afirmación es verdadera si $n=1$ y $A$es un intervalo compacto. Una función continua inyectiva en$A$ está aumentando o disminuyendo, y los máximos y mínimos globales están en cualquier punto final del intervalo.

Asumir $f$ toma su máximo global en $x_0\in A$ y eso $x_0$ es un punto interior de $A$. Entonces considere un segmento de línea $$\mathbf{r}(t)=x_0+te_1$$ dónde $e_1=(1, 0, 0,...,0)$. Para lo suficientemente pequeño$t$, tenemos $\mathbf{r}(t)\in A$ entonces la función $g(t)=f(\mathbf{r}(t))$ está bien definido en un pequeño intervalo compacto $[-\delta,\delta]$ conteniendo $t=0$. Es inyectivo ya que$f$ es inyectivo y continuo también.

Según nuestro argumento cuando $n=1$ resulta que $g$ toma su máximo en el límite de $[-\delta,\delta]$ contradiciendo el hecho de que $g(0)=f(\mathbf{r}(0))=f(x_0)$ es el máximo global de $f$.

El argumento es idéntico para un mínimo global al invertir el signo de $f$.