Propiedad de los centros de los triángulos

Aug 19 2020

$M$es la intersección de 3 cevianos en el triángulo$ABC$.

$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$

Se puede demostrar fácilmente que tanto para los puntos de Nagel como para los de Gergonne , la siguiente ecuación es verdadera:$$S = xyz / r,$$dónde$S$es el area del triangulo$ABC$y$r$es el radio de la circunferencia inscrita.

Me pregunto qué otros centros de triángulos podrían tener la misma propiedad y cuál es el lugar geométrico para ellos.

Además, tenga en cuenta que para el caso en que el punto$M$es el centroide, la fórmula queda de la siguiente manera:$S = 2xyz/R$, dónde$R$es el radio de la circuncircunferencia. Sustitución$x = b/2$,$y = a/2$,$z = c/2$lo devuelve al clasico$S = abc/4R$. Tal vez, podrían existir algunos otros centros de triángulos, de modo que esta ecuación$S = 2xyz/R$también es válido para ellos. Me pregunto en qué relación particular podrían estar estos puntos hipotéticos con el centroide de$ABC$?

Respuestas

2 user131781 Aug 19 2020 at 18:57

Esto es solo una coda a los comentarios anteriores, pero es demasiado largo para un comentario. Si$M$tiene coordenadas baricéntricas$(\lambda,\mu,\nu)$(no necesariamente positivo y normalizado de modo que$\lambda+\mu+\nu=1$), entonces ambas condiciones se reducen a una ecuación cúbica de la forma$$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$es una constante que depende de (la forma del) triángulo y se puede calcular fácilmente de forma explícita.

Para verificar si un centro dado (con función de centro$f$de la Enciclopedia de Centros de Triángulos, normalizados para ser homogéneos con$f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$), debería ser fácil escribir un pequeño programa, digamos en Mathematica, para verificar esto en el acto.

2 mathmagic Aug 21 2020 at 05:17

GeoGebra encontró X(7) X(8) X(506) X(507) y algunas más si deja intersecciones periféricas de cevianos.

PD: se encontró un error en GeoGebra.
Espero que se solucione pronto. [Editar: ahora arreglado]