Proposición 6.6.5 Análisis de Terence Tao
Usando la definición de una subsecuencia dada por Tao,
Dejar $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ y $(b_n)_{n=0}^{\infty}$Ser secuencias de números reales. Nosotros decimos eso$(b_n)_{n=0}^{\infty}$ es una subsecuencia de $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ si existe una función $f :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ que es estrictamente creciente, es decir, $f(n+1)>f(n)$ para todos $n\in \mathbb{N}$ tal que $b_n=a_{f(n)}$ para todos $n\in\mathbb{N}$.
Quiero probar lo siguiente: Proposición $6.6.5$. Una secuencia$(a_n)_{n=0}^{\infty}$ converge a $L$ $\Longleftrightarrow$ cada subsecuencia de $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ converge a $L$.
Como un aparte, $f$debe ser necesariamente inyectivo. Si no fuera así, tendríamos algunos$n\neq n'$ y $f(n)=f(n')$. Sin pérdida de generalidad, dejemos$n>n'$. Luego$n=n'+k$ con $k\in\mathbb{N}-\{0\}$ entonces $f(n'+k)=f(n')$. Sin embargo, esto viola el requisito estrictamente creciente sobre$f$, por lo que debe ser inyectable. Además, cualquier función estrictamente creciente es inyectiva. Por el bien de la contradicción, dejemos$f(n')=f(n)$ y deja $f$ser una función estrictamente creciente. Suponer$n'<n$. Entonces tenemos$f(n')<f(n)$. Pero esto es una contradicción. Entonces$n\leq n'$. Si$n<n'$. Luego$f(n)<f(n')$, también una contradicción, entonces $n\geq n'$. Esto implica que, por antisimetría,$n=n'$.
Yo creo que el $\Longleftarrow$ La dirección es bastante sencilla:
Ya que $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ es una subsecuencia de sí misma - la función $f(n):=n$ es un mapeo que satisface las condiciones de ser una función estrictamente creciente de $N\to N$ y $(b_n)_{n=0}^{\infty}=(a_n)_{n=0}^{\infty}$- justificado por el hecho de que la propiedad de ser una subsecuencia es reflexiva y transitiva, entonces $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ converge a $L$ cuando todas las subsecuencias de $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ converger a $L$.
Para el $\Longrightarrow$ dirección, estoy teniendo algunos problemas.
Tenemos eso $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ converge a $L$. Dejar$(b_n)_{n=0}^{\infty}$ ser una subsecuencia arbitraria de $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ con una función $f :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ satisfactorio $f(n+1)>f(n)$ tal que $(b_n)_{n=0}^{\infty}=(a_{f(n)})_{n=0}^{\infty}$.
Mi pregunta principal es si alguna función$f(n)$ es siempre mayor o igual que $n$. Porque si es así, puedo proceder con el siguiente método:
Para cualquier $\varepsilon>0$ existe un $N\in\mathbb{N}$ tal que para cualquier $(n\geq N)\in\mathbb{N}$, tenemos $|a_n-L|<\varepsilon$. Ya que$f(n)\in\mathbb{N}$ y $f(n)\geq n\geq N$, luego $|b_n-L|=|a_{f(n)\geq n}-L|<\varepsilon \Longrightarrow (b_n)_{n=0}^{\infty}=L$. Ya que$(b_n)_{n=0}^{\infty}$ fue arbitrario, esto significa que cualquier subsecuencia de $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ convergerá a $L$ Si $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ converge a $L$.
He intentado pensar en contraejemplos de una función $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que $f(n+1)>f(n)$ dónde $f$ es inyectivo y $f(n)<n$, por ejemplo, $f(n):=\frac{n}{2}$. Este dominio de funciones es$\mathbb{N}$ y restringiendo su alcance para que $\frac{n}{2}\in\mathbb{N}$, entonces tenemos $f(n)<n$ pero $f(n+1)$no existe. Sin embargo,$f(n+2)$ existe y $f(n+2)>f(n)$, pero este no es el mismo requisito que en la definición, o al menos, si lo es, entonces hay una sutileza que me falta como $f(n+k)>f(n)$. Además, esta función generaría la misma secuencia tomando solo entradas pares. Supongo que esto es más una pregunta sobre si cada$n\in\mathbb{N}$ debe tener un $f(n)\in\mathbb{N}$para que esta prueba funcione. Además, se agradecería cualquier sugerencia, comentario o mejores pruebas / soluciones. Gracias.
Respuestas
Se sigue de la inducción. por$n=0$ tenemos $f(0) \in \mathbb{N} \implies f(0) \geq 0 $. Suponer$f(n) \geq n$ para algunos $n \geq 0$. Ahora note que$f(n+1) > f(n)$. Entonces$f(n+1) \geq f(n)+1 \geq n+1$.
Reclamación : para cualquier función estrictamente creciente$f: \mathbb N \to \mathbb N$ tenemos $f(n) \geq n$ para todos $n \in \mathbb N$.
Prueba . Ya que$f(0) \in \mathbb N$, $f(0) \geq 0$, y luego la afirmación es verdadera para $n=0$. Ahora deja$n \in \mathbb N$ ser arbitrario y suponga que $f(n) \geq n$. Queremos demostrar que$f(n+1) \geq n+1$, pero esto se sigue de $$f(n+1) > f(n) \geq n$$ y eso $m > n$ implica $m \geq n+1$ cuando hablamos de números naturales.