Prueba de criterio de Abel

Question

Quiero probar la siguiente afirmación:

Permitir $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ una serie convergente y $\left(b_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$una secuencia monótona y acotada. Entonces$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ también es convergente.

Sé que ya existen algunas preguntas sobre este problema, sin embargo, en su mayoría tienen suposiciones adicionales (es decir, $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ con $b_k\geq 0$ para todos $k$).

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Mi acercamiento:

Definimos $A_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$. Como$A_n$ es convergente existe un límite $A$ tal que $|A_n|\leq A$ para todos $n$. Lo sabemos$\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ es convergente y por lo tanto la secuencia $\left(A_kb_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$también es convergente (producto de dos secuencias convergentes). Permitir$n_1$ y $n_2$ dos índices tales que para todos $n,m$ con $n>m>n_1$ se mantiene $|A_nb_n-A_mb_m|<\frac{\epsilon}{2}$ y para todos $n,m$ con $n>m>n_2$ se mantiene $|b_n-b_m|<\frac{\epsilon}{2A}$. Ahora definimos$n_0:=\max\{n_1,n_2\}$. Con esto en mente, aplicamos el lema de Abel (suma por partes) y sigue para todos$n>m>n_0$:

$$ |\sum\limits_{k=m+1}^{n} a_kb_k|=|A_nb_n-A_mb_m+\sum\limits_{k=m}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1})|\leq |A_nb_n-A_mb_m|+\sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k(b_k-b_{k+1})| \cdots $$ Si $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ está disminuyendo monótonamente, sigue: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_k-b_{k+1})\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_k-b_{k+1})=\frac{\epsilon}{2}+A (b_m-b_n)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$

Si $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ está aumentando monótonamente, sigue: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_{k+1}-b_k)\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_{k+1}-b_k)=\frac{\epsilon}{2}+A (b_n-b_m)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$ Entonces en ambos casos $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ satisface el criterio de Cauchy y, por tanto, es convergente.

¿Es esto correcto o hay un enfoque más elegante / más rápido?

Answer 1

Para otro enfoque, podemos mostrar que la secuencia de sumas parciales converge sin utilizar el criterio de Cauchy. Tenemos existencia de los limites$\lim_{n \to \infty}A_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k =A$ y $\lim_{n\to \infty}b_n = b .$

Sumando por partes, obtenemos

$$S_n =\sum_{k=1}^n a_kb_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^n (A_k - A_{k-1})b_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^{n} A_k b_k- \sum_{k=2}^{n} A_{k-1} b_k \\ = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k- \sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} = A_nb_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$$

Las series $\sum(b_k - b_{k-1}) $ converge desde $\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} \to b_1 - b$ como $n \to \infty$. Ya que$(A_k)$ es una secuencia acotada y los términos $(b_k- b_{k+1})$ son todos del mismo signo, se sigue que $\sum A_k(b_k - b_{k+1})$ es convergente.

Por tanto, la serie $\sum a_kb_k$ converge desde

$$\sum_{k=1}^\infty a_kb_k = \lim_{n \to \infty}A_nb_{n+1} + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1}) = Ab + \sum_{k=1}^\infty A_k(b_k - b_{k+1})$$

Answer 2

Se sigue del criterio de Dirichlet. De hecho, suponga$b_k \le b_{k+1}$ y $\lim b_k = b$.

Entonces

\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= \sum_{k=1}^n a_k b - a_k (b - b_k) \\ &= b\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n a_k (b - b_k). \end{align}

La primera suma converge ya que es una hipótesis y la segunda suma converge se deriva del teorema antes mencionado.

Pero esto no es una mejora con respecto a su argumento, ya que la prueba habitual del criterio de Dirichlet se realiza mediante la suma por partes.