Prueba de función Gamma y Beta

Question

La función Beta está definida por la integral$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,{\rm d}x~~~~(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Re}\beta>0)$$ Evaluando $\int_0^\infty\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y$ de dos formas diferentes, demuestre que $$\Gamma(a)\Gamma(\beta)=\Gamma(\alpha+\beta)B(\alpha,\beta)$$

Tengo una prueba de la relación entre la función gamma y la función beta, pero después de sustituir la primera vez e intercambiar las integrales, ¿por qué la función se convierte en $x^{\alpha+\beta-1}$ después de peinar $x^{\alpha-1}$ y $x^{\beta-1}$ no debería ser $x^{\alpha+\beta-2}$?

$$\begin{align*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty y^{\color{blue}{\beta-1}}e^{-y}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha+\beta-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x&&(\text{put } y=tx)\\ &=\int_0^\infty t^{\beta-1}\left(\int_0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-(t+1)x}\,{\rm d}x\right)\,{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\left(\int_0^\infty u^{\alpha+\beta-1}e^{-u}\,{\rm d}u\right)\,{\rm d}t&&\left(\text{put }x=\frac u{1+t}\right)\\ &=\Gamma(\alpha+\beta)\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\,{\rm d}t \end{align*}$$

Answer 1

Examinemos la línea crucial con más detalle. La sustitución$y=tx$ da $$\int_0^\infty y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}y\stackrel{y=tx}=\int_0^\infty(tx)^{\beta-1}e^{-tx}\color{red}{x}\,{\rm d}t=x^{\beta}\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}t$$ Como puede ver, tenemos $x^{\beta-1}\cdot x=x^\beta$ de donde el adicional $-1$desaparece. Eso es todo.

Answer 2

Creo que es más fácil si lo haces usando una historia en lugar de hacer integrales complicadas. Imagina dos distribuciones gamma$X \sim Gamma(a, \lambda)$ y $Y \sim Gamma(b, \lambda)$.

Usando estos dos, calcule la articulación $f_{T,W}(t,w)$ distribución de:

$T = X + Y$ y $W = \frac{X}{X+Y}$.

Como historia, imagine dos empleados, trabajando en un banco, ambos trabajando al mismo ritmo. $\lambda$. T es el tiempo de espera total para una persona que tiene que tratar con ambos empleados, mientras que W es la fracción que la persona espera al primer empleado.

Fuera de la distribución conjunta, quedará claro que este es el producto de dos distribuciones independientes, una que es $Beta$. Esto también es mucho más fácil de recordar.