Prueba de la Proposición 11.20 de Atiyah-Macdonald
Lucho por verificar la desigualdad de orden de polos afirmada en la prueba de la proposición 11.20. (La declaración completa y la prueba de la proposición se pueden encontrar aquí: Atiyah-Macdonald 11.20 y 11.21 )
Mi pregunta es: ¿cómo probar esta desigualdad?
Encuentro varios recursos en línea que cubren varios temas con el libro, pero no encuentro nada sobre este problema en particular. Creo que sería beneficioso que también se hiciera alguna referencia a esto, ya que una respuesta perspicaz podría ser útil para cualquiera que intente aprender el tema de este libro.
En caso de que sea de interés, basé mis propios esfuerzos en las siguientes suposiciones adicionales:
- $d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$ debe referirse al orden de los postes como el otro $d$ (el grado del polinomio característico) se define solo para anillos locales.
- La estructura graduada de este anillo es $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$, dónde $\bigoplus A_n$ es la calificación estándar de $(A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]$.
EDITAR: Supongo que el problema no está lo suficientemente claro a menos que uno esté bastante profundo en el libro, por lo que proporcionaré un breve resumen de los resultados relevantes encontrados en el Capítulo 11 hasta (11.20): Para un anillo graduado noetheriano$A$ generado como un $A_0$-álgebra por $s$ elementos homogéneos de grado 1, el teorema (11.1) establece que la serie de Poincaré $P(M,t) = \sum^\infty_{n=0}\lambda(M_n)t^n$ de cualquier grado generado finita $A$-módulo $M$ tiene un polo de orden $d(M)\leq s$ a $t=1$. Esto da un límite superior para$d(A)$ al tomar $M=A$. La desigualdad en (11.20), sin embargo, introduce un límite inferior para$d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$. Un límite inferior del orden de polos aparece anteriormente en el texto solo en forma de igualdad, es decir, en el caso muy especializado de que el anillo graduado es el anillo graduado asociado.$G_\mathfrak{q}(A)$ de un anillo local noetheriano $A$wrt. un$\mathfrak{m}$-ideal primario $\mathfrak{q}$ [el orden de los polos de $G_\mathfrak{q}(A)$ es en este caso igual a dim $A$]. Por tanto, la dificultad radica en la falta de resultados para determinar los límites inferiores del orden de los polos.
Respuestas
Dejar $\bigoplus A_n$ ser la calificación estándar de $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]$. El homomorfismo de los anillos graduados$\bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ es sobreyectiva y tiene kernel $(\bar{f})$, por lo tanto $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ es una calificación de $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]/(\bar{f})$. $\alpha$ induce un mapa $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ ya que $(\bar{f}) \subseteq \textrm{Ker}(\alpha)$, y así obtenemos los siguientes homomorfismos sobreyectivos de anillos graduados: $$ \bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}. $$ Tenga en cuenta que $A_n/\bar{f}A_{n-s}$ y $\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ son $A/\mathfrak{q}$-módulos para todos $n$ (asumiendo $s > 0$), y por lo tanto debe tener una longitud finita ya que $A/\mathfrak{q}$es Artin. Ya que$\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ es la imagen homomórfica de $A_n/\bar{f}A_{n-s}$, también tenemos eso $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$. Finalmente observe que desde$\bigoplus A_n$ se genera como un $A/\mathfrak{q}$-álgebra por $t_1,\dots,t_d$, los otros dos anillos son generados por las respectivas imágenes de estos. Como estas imágenes son todas homogéneas de grado 1, obtenemos de (11.2) que para todas las grandes$n$, $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1})$ es un polinomio $g(n)$ de grado $d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) - 1$ y $l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$ es un polinomio $h(n)$ de grado $d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) - 1$. Ahora desde$$g(n) = l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s}) = h(n)$$ para todos los grandes $n$, debemos tener eso $\deg g(n) \leq \deg h(n)$, así $$ d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) = \deg g(n) + 1 \leq \deg h(n) + 1 = d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) $$ lo que prueba la desigualdad.