"Prueba" de que cero es igual a uno restando números infinitamente

Question

Recientemente, encontré una "prueba" de que $0=1$. Aquí es cómo va:

Dejar $x = 1-1-1-1-1-1-1-\cdots$. Ya que$1-1=0$, $x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$. Ahora, ponemos el$1-1-1-1-1-1-\cdots$ en ambos lados y obtenemos $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$. Entonces, obtenemos$1-x=0-x$. Entonces,$1-x+x=0-x+x$. Por lo tanto,$1+0=0+0$ y entonces $1=0$.

No pude averiguar qué salió mal en esta prueba. El resultado claramente no es cierto, pero la prueba parece serlo. Luego le pregunté a algunas personas y todas no pudieron entender qué salió mal. ¿Puede alguien venir a ayudarme a identificar qué salió mal? Gracias.

Answer 1

Las llamadas sumas infinitas en matemáticas tienen una definición formal como serie y se basan en el concepto de suma parcial :$$a_1+a_2+ \cdots =\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$$ dónde $S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ es suma parcial.

Ahora vayamos a tu ejemplo: si consideras $1-1-1-1-1-1-1-...$, entonces debemos construir una suma parcial para ello $$\begin{array}{} S_1=1 \\ S_2=1-1=0 \\ S_3=1-1-1=-1 \\ S_4=1-1-1-1=-2 \\ S_5 =1-1-1-1-1=-3 \\ \cdots \\ S_n=2-n \\ \cdots \end{array}$$ Como ves, la suma parcial no tiene límite finito, lo que significa que esa expresión $1-1-1-1-1-1-1-...$ no es un número finito y no se puede utilizar como tal.

Se puede obtener un ejemplo divertido de tal "prueba" si considera la expresión $1-1+1-1+1-1+1-...$ y no investigue la convergencia: $$0=(1-1)+(1-1)+\cdots= 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1$$

Answer 2

Cuando escribe una serie infinita, primero debe verificar si converge. De lo contrario, los procedimientos normales como el horquillado ya no funcionan.

Por ejemplo, aquí hay una prueba similar (falsa) de que todos los enteros son $0$: Dejar $x = 1 + 1 + 1 + \cdots $. Para cualquier entero$n > 0$, corchete el primero $n$ términos para que $x = (1+1+\cdots+1) + 1 + 1 + 1+ \cdots = n + x$. Por lo tanto$n=0$.

Answer 3

Dejar $x=1−1−1−1−1−1−1-\cdots.$

Ya que $1−1=0$

$x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$.

Ahora, ponemos el $1-1-1-1-1-1-\cdots$ en ambos lados y obtenemos

--> $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$. <--

Aquí está el error. Tener un signo menos antes de los corchetes niega todo el interior.

Entonces realmente se convierte en:

$$x = 0 - (1 + 1 + \cdots)$$

Y no creo que sea una operación matemática válida para tachar $\infty$ en ambos lados, como $\infty$ es solo un marcador de posición para un número muy grande (no un número grande concreto, por lo que $\infty_{left} \ne \infty_{right}$).

Answer 4

Dejando a un lado las cuestiones de convergencia, tenga en cuenta que la resta no es asociativa.

Con solo una expresión de tres términos del mismo tipo:

$(1-1)-1=-1$y

$1-(1-1)=1$

Acabo de probar $1 = -1$???