Prueba de que si la diferencia de términos de dos sucesiones convergentes es nula, entonces el límite de las sucesiones es igual
Proposición: Dado que las secuencias reales $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son convergentes, y que $\{a_n - b_n \}$ es una secuencia nula, entonces $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$
Este fue mi intento:
Denotar $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ y $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. Suponer$m \neq n$. Suponer$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. Por la convergencia de$\{a_n\}$ y $\{b_n\}$, y usando el valor especificado de épsilon, para lo suficientemente grande $n$ tenemos eso $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$y $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. De esto tenemos
$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$
Pero por la densidad de $\mathbb{R}$, existe algo $r \in \mathbb{R}$ tal que $a_n - b_n > r$ para suficientemente grande $n$. Pero esto contradice el hecho de que$\{a_n - b_n\}$ es una secuencia nula, por lo tanto $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$
Estoy interesado en ver si hay una prueba (¡y con suerte también una verificación de que la mía es correcta!) Que no se base en deducir una contradicción al asumir $l \neq m$. Esto parece frustrantemente una de esas afirmaciones "obvias" que cuando escribo en lógica de primer orden me cuesta probar. En particular, no pude encontrar la manera de hacerlo directamente.
Respuestas
La prueba por contradicción es realmente el enfoque más natural aquí. La intuición es simple: si las secuencias tienen límites diferentes, eventualmente tienen que estar cerca de esos límites y por lo tanto no pueden estar cerca unas de otras.
Sin embargo, se puede hacer un poco más fácilmente. Dejar$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. Hay un$n_0\in\Bbb N$ tal que $|a_n-\ell|<\epsilon$ y $|b_n-m|<\epsilon$ cuando $n\ge n_0$. Pero entonces
$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$
para todos $n\ge n_0$, entonces
$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$
para todos $n\ge n_0$, contradiciendo la suposición de que $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia nula.
Tu argumento tiene algunos problemas. Primero, parece que estás asumiendo que$\ell>m$; no hay una pérdida real de generalidad si hace esta suposición, pero al menos necesita decir que lo está haciendo. También aparentemente estás asumiendo al final que$a_n-b_n$es positivo, que no tiene por qué ser el caso. Por último, y lo más importante, en realidad no ha dado ninguna justificación para la afirmación de que existe un$r$ tal que $a_n-b_n>r$ para suficientemente grande $n$: esto es cierto para $|a_n-b_n|$ y algo positivo $r$, pero esto no tiene nada que ver con la densidad de $\Bbb R$.