Prueba de que si la diferencia de términos de dos sucesiones convergentes es nula, entonces el límite de las sucesiones es igual

Aug 16 2020

Proposición: Dado que las secuencias reales $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son convergentes, y que $\{a_n - b_n \}$ es una secuencia nula, entonces $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$

Este fue mi intento:

Denotar $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ y $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. Suponer$m \neq n$. Suponer$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. Por la convergencia de$\{a_n\}$ y $\{b_n\}$, y usando el valor especificado de épsilon, para lo suficientemente grande $n$ tenemos eso $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$y $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. De esto tenemos

$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$

Pero por la densidad de $\mathbb{R}$, existe algo $r \in \mathbb{R}$ tal que $a_n - b_n > r$ para suficientemente grande $n$. Pero esto contradice el hecho de que$\{a_n - b_n\}$ es una secuencia nula, por lo tanto $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

Estoy interesado en ver si hay una prueba (¡y con suerte también una verificación de que la mía es correcta!) Que no se base en deducir una contradicción al asumir $l \neq m$. Esto parece frustrantemente una de esas afirmaciones "obvias" que cuando escribo en lógica de primer orden me cuesta probar. En particular, no pude encontrar la manera de hacerlo directamente.

Respuestas

2 BrianM.Scott Aug 16 2020 at 02:41

La prueba por contradicción es realmente el enfoque más natural aquí. La intuición es simple: si las secuencias tienen límites diferentes, eventualmente tienen que estar cerca de esos límites y por lo tanto no pueden estar cerca unas de otras.

Sin embargo, se puede hacer un poco más fácilmente. Dejar$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. Hay un$n_0\in\Bbb N$ tal que $|a_n-\ell|<\epsilon$ y $|b_n-m|<\epsilon$ cuando $n\ge n_0$. Pero entonces

$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$

para todos $n\ge n_0$, entonces

$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$

para todos $n\ge n_0$, contradiciendo la suposición de que $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia nula.

Tu argumento tiene algunos problemas. Primero, parece que estás asumiendo que$\ell>m$; no hay una pérdida real de generalidad si hace esta suposición, pero al menos necesita decir que lo está haciendo. También aparentemente estás asumiendo al final que$a_n-b_n$es positivo, que no tiene por qué ser el caso. Por último, y lo más importante, en realidad no ha dado ninguna justificación para la afirmación de que existe un$r$ tal que $a_n-b_n>r$ para suficientemente grande $n$: esto es cierto para $|a_n-b_n|$ y algo positivo $r$, pero esto no tiene nada que ver con la densidad de $\Bbb R$.