Prueba de una solución entera general de la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑁 [duplicar]

Question

Dado $a,b\in\mathbb{Z}-\{0\}$ y $N\in\mathbb{Z}$, es fácil demostrar que si $x_0,y_0\in\mathbb{Z}$ son una solución particular para $ax+by=N$, entonces $x=x_0+\frac{b}{d}t$ y $y=y_0-\frac{a}{d}t$, dónde $d=gcd(a,b)$ y $t\in\mathbb{Z}$, también son solución para $ax+by=N$.

Pero puedo preguntar cmo probar que en realidad son la solucin general para $ax+by=N$ si restringimos las soluciones adentro $\mathbb{Z}$? (es decir, se han contado todas las soluciones enteras)

¡Gracias!

Answer 1

Sea A el conjunto de todos los pares ordenados soluciones enteras. Sea B el conjunto de todos los pares ordenados de soluciones enteras solo de la forma que dio. Sabemos$B \subseteq A$

Primero encuentre todas las soluciones racionales para la ecuación, luego restrinja.

Dejar

$x=x_0+bu$

para $u \in\mathbb{Q}$

Esto se puede resolver para u para cualquier x racional.

Y luego usando

$ax+by=N$

$a(x_0+bu)+by=N$

$y=\frac{N-a(x_0+bu)}{b}$

$y=\frac{by_0-abu}{b} = y_0-au$, que también es racional.

Entonces cada elemento de A puede escribirse como $(x_0+bu,y_0-au)$ para alguna u racional.

Entonces deja $(x_0+bu,y_0-au) \in A$

Necesitamos

$bu \in \mathbb{Z}$

$au \in \mathbb{Z}$

escribir $u=\frac{m}{n}$. Suponga que esto es en términos mínimos

Entonces

$\frac{bm}{n} \in \mathbb{Z}$

$\frac{am}{n} \in \mathbb{Z}$

Entonces $n|b$ y $n|a$

Eso significa $n|d$ dónde $d=gcd(a,b)$

Podemos escribir $rn=d$ para algún entero r

Entonces $n = \frac{d}{r}$

$\frac{bm}{n} = \frac{b}{d}(rm)$

$\frac{am}{n} = \frac{a}{d}(rm)$

Así que dejando $t=rm$, lo sabemos $(x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t) \in B$

Entonces $A \subseteq B$ dándonos $A=B$.