Prueba no trigonométrica: $|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.
Esta pregunta ya se ha hecho antes, pero la respuesta da la solución que involucra la trigonometría y el teorema de Stewart que quería evitar.
En un triangulo $\triangle ABC$, la bisectriz del ángulo desde el punto $A$ se cruza $\overline {BC}$ en punto $D$. Probar:$|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.
Mi acercamiento:
Dejar $c$ ser la circunferencia de $\triangle ABC$ y deja $E$ ser la intersección de la línea $AD$ y circulo $c$.
Obtenemos lo siguiente:
$\begin{aligned}\measuredangle ABC=\measuredangle AEC\ \land\ \measuredangle EAB=\measuredangle CAE&\implies\boxed{\triangle ABD\sim\triangle AEC}\\&\implies\frac{|AC|}{|AE|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\&\implies|AB|\cdot|AC|=|AD|\cdot(|AD|+|DE|)=|AD|^2+|AD|\cdot|DE|\\&\implies\boxed{ |AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$
Por otra parte:
$\begin{aligned}\measuredangle CBE=\measuredangle CAE\ \land\ \measuredangle EDB=\measuredangle ADC&\implies\boxed{\triangle DBE\sim\triangle ADC}\\&\implies\frac{|BD|}{|AD|}=\frac{|DE|}{|DC|}\\&\implies\boxed{|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$
Finalmente,
$|AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|=|AB|\cdot|AC|-|BD|\cdot|DC|$
Imagen:

¿Puedo preguntar si esto es válido? Si es así, ¿hay algo que pueda hacer para mejorar mi prueba?
¡Gracias de antemano!
Respuestas
Tenga en cuenta el segundo paso ($|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|$es un teorema bien conocido (Teorema de la intersección de acordes ), por lo que es mejor consultarlo en lugar de probarlo usted mismo. Aparte de eso, esta prueba es perfectamente válida y, siendo muy breve, no veo cómo podría mejorarse.