Prueba $\sum {\frac {ab}{ \left( a+b \right) ^{2}}}+{\frac {\prod \left( a+b \right) }{16abc}}\geq \frac{5}{4}$

Question

por $a,b,c>0.$ Probar$:$ $${\frac {ab}{ \left( a+b \right) ^{2}}}+{\frac {bc}{ \left( b+c \right) ^{2}}}+{\frac {ac}{ \left( c+a \right) ^{2}}}+\,{\frac { \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right) }{16abc}}\geqslant \frac{5}{4}$$ AM-GM lo mata fácilmente, pero creo que es difícil obtener SOS$,$ No puedo!

Si $c=\min\{a,b,c\},$ obtenemos lo siguiente por Maple$:$

Sin embargo, es feo. Entonces deseo otro SOS.

PD: Esta desigualdad es de Nguyen Viet Hung.

Aquí está la prueba AM-GM: https://www.facebook.com/groups/1486244404996949/permalink/2695082927446418/

Entonces no necesito la prueba AM-GM.

Answer 1

Sí, SOS ayuda.

Necesitamos demostrar eso $$\frac{\prod\limits_{cyc}(a+b)}{16abc}-\frac{1}{2}\geq\sum_{cyc}\left(\frac{1}{4}-\frac{ab}{(a+b)^2}\right)$$ o $$\frac{\sum\limits_{cyc}c(a-b)^2}{16abc}\geq\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{4(a+b)^2}$$ o $$\sum_{cyc}(a-b)^2\left(\frac{1}{ab}-\frac{4}{(a+b)^2}\right)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\frac{(a-b)^4}{ab(a+b)^2}\geq0.$$