Pruebalo $2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$ [duplicar]

Dec 03 2020

Estoy tratando de probar con fines de algoritmo que dado $a,b,n$ enteros positivos: $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$$ Intenté por inducción y obtuve el paso de la siguiente manera: $$2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})\geq^?(a+b)^{n+1}$$ Intenté usar la expansión binomial $(a+b)^n=\sum^n_{k=0} {{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}$ y luego excluir el último elemento $$(a+b)^{n+1}=\sum^{n+1}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k+1}=\sum^{n}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=\sum^{n}_{k=0} (n+1){{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0=[(n+1)b]\sum^{n}_{k=0}{{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=[(n+1)b](a+b)^n+a^{n+1}\leq[(n+1)b]\times2^{n-1}(a^n+b^n)+a^{n+1}$$ Suponiendo que todo está correcto hasta ahora, no sé cómo proceder desde allí para obtener $\leq 2^n(a^{a+1}+b^{n+1})$

Mi segundo intento fue realizar el paso de la siguiente manera: $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n \setminus\cdot(a+b)$$ $$2^{n-1}(a^n+b^n)(a+b)\geq(a+b)^{n+1}$$ $$2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}+a^nb+b^na)\geq(a+b)^{n+1}$$ Ahora no se como eliminar $a^nb+b^na$, y proceder a $2^n$

¿Hay otra forma de probar esto? ¿O alguna pista para continuar mi paso?

Respuestas

Vlad Dec 03 2020 at 10:48

De la desigualdad de reordenamiento, tenemos lo siguiente: $$a^n+b^n\geq a^i\cdot b^{n-i}+a^{n-i}\cdot b^i$$

$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\leq\frac{a^n+b^n}{2}\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}$$

que es exactamente lo que quieres