Pruebalo $2^{n}+1$ no es un cubo de un entero para todos $n\in\mathbb{N}$ [duplicar]
Pruebalo $2^n+1$ no es un cubo para nadie $n\in\mathbb{N}$.
Logré probar esta afirmación, pero me gustaría saber si hay otros enfoques diferentes al mío.
Si existiera $k\in\mathbb{N}$ tal que $2^n+1=k^3$ luego $k=2l+1$ para algunos $l\in\mathbb{N}$. Luego$(2l+1)^3=2^n+1 \iff 4l^3+6l^2+3l=2^{n-1}$. Como estoy buscando una solución entera, del teorema de la raíz racional$l$ tendría que ser de la forma $2^j$ para $j=1,...,n-1$. Pero entonces
$$4(2^j)^3+6(2^j)^2+3\times2^j=2^{n-1} \iff 2^{2j+2}+3(2^{j+1}+1)=2^{n-1-j}$$
el LHS es extraño, lo que implica que $j=n-1$. Absurdo.
Gracias de antemano.
Respuestas
Aquí hay un enfoque diferente.
Modulo $7$, no hay tantos cubos, por lo que puede ser una buena configuración para investigar tales problemas:
$2^n+1\equiv 2, 3, $ o $5\pmod7$, pero $m^3\equiv0, 1, $ o $6\pmod 7$.
Aquí hay una solución basada en paridad que evita la prueba de raíz racional.
Si $2^n+1=m^3$, luego $2^n=m^3-1=(m-1)(m^2+m+1)$, entonces $m-1=2^k$ para algunos $k\le n$y
$$2^n+1=\left(2^k+1\right)^3=2^{3k}+3\cdot2^{2k}+3\cdot2^k+1\,.$$
Luego $2^n=2^k\left(2^{2k}+3\cdot2^k+3\right)$, entonces $2^{n-k}=2^{2k}+3\cdot2^k+3$ es extraño y mayor que $1$, lo cual es imposible.
Agregado: como se puede ver en los comentarios a continuación, hay muchas formas de continuar con este argumento después de la primera línea. Tomé lo que creo que es el enfoque de seguir tu nariz, es decir, el más obvio y sencillo, no necesariamente el más ordenado. (Y hablando de lo más ordenado, me gusta bastante el de rtybase .) Por otra parte, las narices de las personas no siempre apuntan en la misma dirección. :-)
Invocar un argumento más poderoso de lo necesario para esto:
no puede haber ninguna solución para $2^n+1=m^3$ (es decir, $m^3-2^n=1$) por el teorema de Mihăilescu ,
el cual establece que $2^3$ y $3^2$ son las únicas dos potencias de los números naturales
cuyos valores son consecutivos.
Suponer $2^n + 1 = k^3$. Luego$2^n = k^3 - 1 = (k^2 + k + 1)(k - 1)$. Entonces ambos factores son pares ($k = 2$no funciona; el primer factor es al menos$3^2 + 3 + 1 = 13$, no puede ser 1). Pero el primer factor siempre es extraño, la contradicción.
Dejar $$2^n=m^3-1\\\implies 2^n=(m-1)(m^2+m+1)\\\implies(m-1)=2^a\text{ and }(m^2+m+1)=2^b\\\implies3m=(m^2+m+1)-(m-1)^2=2^b-2^{2a}$$ Ahora, desde $m$ es extraño, debemos tener $a=0$ o $b=0$. Pero$(m-1)<(m^2+m+1)$ implica $a=0$. Esto implica$m=2$ una contradicción desde $m$ debe ser extraño.
Pongamos los cubos en $8m^3$ y $8m^3+12m^2+6m+1$. Como$8m^3$ es par y no funciona para $n=0$, eso es imposible. Para el segundo, ignorando el$1$ puedes factorizarlo para $2m(4m^2+6m+3)$. Ya que no hay nada natural en el que$4m^2+6m+3=1$ es imposible ser un $2^n$ para natural $n$.