Pruebalo $_4F_3\left(\frac13,\frac13,\frac23,\frac23;1,\frac43,\frac43;1\right)=\frac{\Gamma \left(\frac13\right)^6}{36 \pi ^2}$
Encontré un problema interesante sobre las series hipergeométricas generalizadas en MO, afirmando que:
$$\, _4F_3\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};1,\frac{4}{3},\frac{4}{3};1\right)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac13)_k (\frac23)_k}{(1)_k (\frac43)_k}\right)^2=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^6}{36 \pi ^2}$$
Esto concuerda numéricamente, pero no encontré ninguna prueba usando propiedades elementales de funciones hipergeométricas (por ejemplo, suma cíclica) o fórmulas clásicas de Gamma (por ejemplo, fórmula de Dougall). Apuesto a que tiene algo que ver con formas modulares y elípticas.$K$ integral, pero la relación exacta sigue siendo difícil de alcanzar.
¿Cómo demostrar esta identidad ? ¿Cuál será su motivación? ¿Podemos generar otra evaluación Gamma de series hipergeométricas de alto orden utilizando el método de prueba? Se agradecerá cualquier ayuda.
Respuestas
Dejar $S$ ser el dado $_4F_3$, luego (la primera igualdad proviene de la integración temporal), $$\begin{aligned} S &= -\frac{1}{9}\int_0^1 t^{-2/3} (\log t) {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt =-\frac{1}{9} \frac{d}{da} \left(\int_0^1 t^{-2/3+a} {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt \right)_{a=0}\\ &= -\frac{1}{9}\frac{d}{da}\left(\frac{\, _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right)}{ a+1/3}\right)_{a=0} \end{aligned}$$
Se ve fácilmente $A=\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)/\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2$ es el valor de la $_3F_2$ a $a=0$( Dixon ). Colocar$$\begin{aligned} &{d_{2/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3} + a,\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_1} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1 + a,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \\ &{d_{1/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3} + a;1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_{4/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3} + a;1)} \right)_{a = 0}}\end{aligned}$$
Por regla de cadena multivariable, $$S = A -\frac{1}{3}(d_{1/3}+d_{4/3})\tag{*}$$
En general, derivada de $_pF_q$con respecto a un parámetro es intratable. Solo se pueden manejar de manera ad hoc . En nuestra situación, es bien sabido que$_3F_2$ a $1$satisface ciertas transformaciones: dos generadores son la primera y la tercera entrada aquí . Usando estas dos entradas, obtenemos$$\begin{aligned} & \quad _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right) \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}-a;1,\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{4}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)} \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \, _3F_2\left(a+\frac{1}{3},a+\frac{2}{3},a+\frac{2}{3};a+1,a+\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}-a\right) \Gamma (a+1)} \\ &= \frac{\Gamma \left(-\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},a+1;1\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right) \Gamma (a+1)}+\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)^2} \end{aligned}$$
Observa que para los cuatro $_3F_2$ arriba, sus argumentos son todos como $(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$, la única diferencia es $a$aparece en diferentes lugares. Esto revela por qué$(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$ es especial.
Introduzca una definición operativa: escriba $x\equiv y$ si $x-y$es una "combinación lineal de factores gamma". Por ejemplo,$x\equiv y$ si $x-y = A$. Ahora tome la derivada en$a=0$, obtenemos $$\tag{**}d_{1/3}+d_{4/3} \equiv -d_{2/3} \equiv d_{1/3}+2d_{2/3}+d_1+d_{4/3} \equiv -d_1$$ Resolver este sistema da $$d_1 \equiv d_{2/3} \equiv d_{1/3}+d_{4/3} \equiv 0$$
Por lo tanto $d_{1/3}+d_{4/3}$ se puede expresar en función gamma, por lo que $S$ de acuerdo a $(*)$.
No hay dificultad en hacer $(**)$ explícito: $$d_{1/3}+d_{4/3}=\left(3-\frac{\pi }{\sqrt{3}}\right) A-d_{2/3}=d_1+d_{1/3}+2 d_{2/3}+d_{4/3}+\frac{1}{6} A \left(\sqrt{3} \pi -9 \log (3)\right)=-d_1+\frac{1}{2} A \left(\pi \sqrt{3}-6+3 \log (3)\right)+\frac{3 \left(3 \sqrt{3}-2 \pi \right) \Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)^2}{\sqrt[3]{2} \pi ^2}$$
Resolver da $d_{1/3}+d_{4/3} = \dfrac{2 \sqrt{\pi } \left(27-4 \sqrt{3} \pi \right) \Gamma \left(\frac{13}{6}\right)}{21 \Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2}$. También obtenemos valores de$d_1, d_{2/3}$ como subproductos.
¡Increible! ¡Resuelto 9 años después! Gracias a todos por investigar esto y luego por resolverlo. ¿Puede esto dar una forma general para
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)$$
Probablemente debería dar algunas motivaciones para esto. En el siguiente artículo, miré el tiempo de salida esperado de un movimiento browniano planar comenzando en 0 desde un$m$-gon centrado en 0:
https://projecteuclid.org/euclid.ecp/1465262013
Es (hasta una constante que depende del tamaño del polígono)
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)\times \frac{m^2}{\beta(1/m,(m-2)/m)^2},$$
que no sale exactamente de la lengua. Sin embargo, para un triángulo equilátero hay un método diferente para calcular esto, y da$1/6$. Entonces obtenemos una identidad al equiparar los dos, y esa es la identidad. Ahora, la pregunta es, ¿podemos usar este método para obtener una expresión más agradable para el$_4F_3$ para mayor $m$? Esta sería una expresión más agradable para el tiempo de salida esperado del movimiento browniano desde el$m$-gon.
Aquí se puede encontrar una versión puramente analítica (es decir, no probabilística) de todo esto, porque el tiempo de salida esperado es básicamente la norma Hardy H ^ 2 del dominio, hasta una constante.
https://arxiv.org/abs/1205.2458