¿Puede existir esta función `` casi inyectiva ''?

Question

Dejar $\pi: X\to Y$ Ser una función sobreyectiva entre los espacios compactos, métricos y conectados. $X$, $Y$y $Y_0 = \{y\in Y: \#\pi^{-1}(y)>1\}$. Suponer que:

1. $Y_0$ es denso en $Y$,
2. $Y\setminus Y_0$ es un denso $G_\delta$ en $Y$y
3. $\#\pi^{-1}(y) \leq N$ para todos $y\in Y$ y una constante universal $N$.

Mi pregunta es: ¿puede una función $\pi$como este existe? Tal vez necesite más hipótesis sobre la topología de$X$ y $Y$.

Observe que la conexión es crucial: las codificaciones sturmianas de rotaciones irracionales del círculo son funciones sobreyectivas $\pi:K\to S^1$ del conjunto Cantor (un espacio totalmente desconectado) y el círculo tal que $\#\pi^{-1}(y) = 2$ para $y$ en un subconjunto denso contable $Y_0 \subseteq S^1$ y $\#\pi^{-1}(y) = 1$ para $y \in S^1\setminus Y_0$.

La condición (3) también es necesaria: si $f\colon[0,1]\to[0,1]$es la función de Thomae ,$X = \{(x,y)\in[0,1]^2 : 0\leq y\leq f(x)\}$ es el subgrafo de $f$, $\pi: X\to[0,1]$ es la proyección sobre la primera coordenada, y $Y_0 := \{y\in Y: \#\pi^{-1}(y)>1\} = [0,1]\cap\mathbb{Q}$, entonces $X$ está conectado y (1), (2) mantener, pero $\pi(y)$ es un conjunto incontable cuando $y \in Y_0$.

Después de construir estos ejemplos estoy más convencido que al principio de que $\pi$ debe ser inyectable.

Agradecería cualquier comentario.

Answer 1

Creo que este ejemplo es una función sobreyectiva no inyectiva que satisface su hipótesis. $$\pi\colon[0,1]\to[0,1]$$ $$t\mapsto\left\lbrace\begin{array}{ll} t &\mbox{if $t$ is irrational}\\2\min\{t,1-t\}&\mbox{if $t$ is rational}\end{array}\right.$$

Aquí $Y_0=(\mathbb{Q}\cap[0,1])\setminus\{\frac{1}{2}\}$, que es denso en $[0,1$]; el complemento$[0,1]\setminus(\mathbb{Q}\setminus \{\frac{1}{2}\}) $ es denso también y forma una $G_\delta$conjunto. Y$card(\pi^{-1}(t))$ es igual a $1$ por irracional $t$ y $t=\frac{1}{2}$ pero igual $2$ para racional $t\neq \frac{1}{2}$.