¿Puede la composición de un polinomio entero y un polinomio racional con un coeficiente no entero dar como resultado un polinomio entero?

Question

¿Podemos encontrar dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$, dónde $p(x)$ es un polinomio monico no constante sobre enteros y $q(x)$ es un polinomio mónico sobre racionales con al menos un coeficiente no entero, de modo que su composición $p(q(x))$Qué es un polinomio sobre enteros? Si no, ¿cómo probarlo?

Por ejemplo deja $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ y $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, entonces $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$, así que no importa los números enteros $a_i$que elijamos, el polinomio resultante tendrá un coeficiente no entero. La condición mónica es importante, ya que de lo contrario podríamos multiplicar$p(x)$con tal entero que garantizaría que todos los coeficientes sean enteros. Intenté observar el coeficiente de composición de los polinomios generales, que creo que deberían seguir esta fórmula:

\ begin {align} [x ^ r] p (q (x)) = \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ dots + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n- (k_1 + \ dots + k_m)} \ binom {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} {k_0, k_1, \ dots, k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} \ left (\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ right) \ end {align} (aquí$a_i$ y $b_i$ son los coeficientes de $p(x)$ y $q(x)$ con grados $n$ y $m$, respectivamente). Sin embargo, no está del todo claro en qué coeficiente centrarse para demostrar que dará el número no entero.

Esto surgió al intentar resolver el https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomial, pero parece bastante interesante por sí mismo.

Answer 1

De hecho, podemos ignorar la suposición de que $q$es monic. La composición$p \circ q$ no puede tener todos los coeficientes enteros.

Para dejar $p$ ser un factor primo de algún denominador completamente simplificado de un coeficiente de $q$. Considere el más grande$k$ S t $p^k$ es un factor de algún denominador de un $q$coeficiente. Luego escribe el polinomio$q$ como $x^j w(x) / p^k + s(x)$, donde cada numerador completamente simplificado de $w(x)$ no es divisible por $p$ y ningún denominador completamente simplificado de $s(x)$ es divisible por $p^k$, y donde $w$tiene un término constante distinto de cero. Haga esto agrupando todos los términos con denominadores divisibles por$p^k$, obteniendo $x^j w(x) / p^k$, y todos los términos con denominadores no divisibles por $p^k$, obteniendo $x(x)$.

Dejar $n$ ser el grado de $p$, y considere el coeficiente de $x^{jn}$ en $p \circ q$. Uno de los sumandos contribuyentes será$w(0)^n / p^{kn}$, que está completamente simplificado. Y ninguno de los otros sumandos puede tener un denominador divisible por$p^{kn}$. Entonces este coeficiente no es un número entero.