¿Puede una suma de $n$ los cuadrados se expresan como la suma de $n/2$ ¿cuadrícula?
La respuesta para el caso especial cuando los cuadrados son triples pitagóricos es sí. Los triples pitagóricos son el caso de los más bajos$n$, a saber $2$. Se pueden combinar dos triples pitagóricos para formar una suma de$4$ cuadrados como en $(3^2 + 4^2) + (5^2 + 12^2) = 5^2 + 13^2$. Combinando (sumando) triples pitagóricos, podemos hacer una suma de cuadrados con arbitrarias$n$.
Pregunta: ¿Qué sucede en el caso general cuando los pares de cuadrados involucrados no son triples pitagóricos o cuando no todos los pares son pitagóricos?
Respuestas
La respuesta es sí para (incluso)$n \geq 8$y no por (incluso)$n \leq 7$.
Si $n \geq 8$ entonces la suma de tu $n$cuadrados es la suma de cuatro cuadrados según el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange. Ahora si$n/2$ es mayor que 4, puede completar su suma agregando suficientes términos iguales a $0^2$.
por $4 \leq n \leq 7$ tenga en cuenta que $7$ se puede escribir como la suma de $n$ cuadrados, pero no se puede escribir como la suma de $n/2$ cuadrícula.
por $2 \leq n \leq 3$ tenga en cuenta que $5$ es la suma de $n$ cuadrados pero no la suma de $n/2$ cuadrícula.
Del teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, tenemos que cada número natural puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos. Porque siempre podemos agregar$0^2$ sin cambiar la suma, esto significa que cada número natural se puede escribir como la suma de $n$ cuadrados para cualquier $n\geq4$.
Tu problema pregunta si dado eso $M$ es la suma de $n$ cuadrados, se puede escribir como la suma de $\frac{n}{2}$cuadrícula. Como esto requiere que$n$ sea incluso, tenemos cuatro casos:
Caso 1: $n=2$
En este caso, dado que $M$ es la suma de dos cuadrados, es solo la suma de un cuadrado si tenemos un triple pitagórico.
Caso 2: $n=4$
En este caso, $M$puede ser cualquier número natural. La pregunta pregunta si un número natural genérico se puede escribir como la suma de 2 cuadrados. La respuesta a esta pregunta proviene del Teorema de la suma de dos cuadrados, acreditado a Euler, y dice que un número puede escribirse como la suma de dos cuadrados si y solo si su factorización prima no contiene una prima que sea congruente$-1\mod4$ elevado a un poder extraño.
Caso 3: $n=6$
En este caso, M puede ser cualquier número natural. La pregunta pregunta si un número natural genérico se puede escribir como la suma de 3 cuadrados. Del teorema de los tres cuadrados de Legendre, la respuesta es que la mayoría de los números naturales, pero no todos, se pueden escribir como la suma de tres cuadrados. Específicamente, todos los números naturales, excepto los que aparecen enhttps://oeis.org/A004215 se puede escribir como la suma de tres cuadrados
Caso 4: $n\geq8$
En este caso, cada número natural se puede escribir como la suma de $\frac{n}{2}$ cuadrados, y por lo tanto la respuesta es trivialmente sí.
Para los casos 3 y 4, tenemos suficiente margen para elegir $n$ cuadrados que podemos elegir una ruptura que no incluya ningún Triples pitagóricos
No estoy seguro de haber entendido la pregunta correctamente, porque si esto es lo que realmente quiere decir, entonces no es demasiado difícil encontrar contraejemplos.
Mi interpretación: dada una colección de $n$ enteros positivos, $\{ a_1, ..., a_n \}$, es posible encontrar una colección de $n/2$ enteros positivos, digamos, $\{ b_1, ... , b_{n/2} \}$ tal que $$ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 = \sum_{i=1}^{n/2} {b_i}^2 $$.
Si esto es lo que realmente quiere decir, primero considere $n$para ser un número entero impar y hemos terminado. Porque$n/2$ no es un número entero, la afirmación es obviamente falsa.
Ahora suponga $n$solo se permite ser parejo. Considere, diga$n = 2$ y $a_i = 1$ para ambos $i=1,2$. $\sum {a_i}^2 = 1^2 +1^2 = 2$, no un cuadrado perfecto, y por lo tanto es un contraejemplo de la declaración.
Dos triples pitagóricos cualesquiera pueden representarse como la suma de cuatro cuadrados o la suma de dos cuadrados.
Ejemplos: $\qquad(15^2+8^2)+(21^2+20^2)=17^2+29^2$
o, del ejemplo que mostré en mi primera versión de esta respuesta: $$157^2+12324^2=6493^2+10476^4=10147^2+6996^2=12317^2+444^2=12325^2$$ $\implies(157^2+12324^2)+(6493^2+10476^4)+(10147^2+6996^2)+(12317^2+444^2)\\\qquad\qquad\qquad=(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)$
dónde $8$ las sumas de cuadrados se expresan como $4$. Di el ejemplo de$4$ valores iguales pero cualquier número par de cualquier combinación de $C$-los valores se pueden reducir a la mitad de ese número.
Otro ejemplo es aquí donde $10$ las sumas cuadradas son iguales a $5$ sumas $\qquad\qquad (3^2+4^2)+(5^2+12^2)+(13^2+84^2)+(85^2+132^2)+(157^2+12324^2)\\ \qquad\qquad=5^2+13^2+85^2+157^2+12325^2$
Para su última pregunta, si no se requieren cuadrados, también hay infinitas soluciones: $$(12+13)+(168+1)=5^2+13^2$$ o $$(1^2+2^2)+(4^2+5^2)=(5+41)$$