¿Qué es diferente entre campo y campo finito?
Sé que tal vez mi pregunta esté fuera de tema y lo siento.
Recientemente caí en la teoría de grupos y la confundí con la definición exacta de campo.
Mi maestro dice:
$Z_{x}$ es un campo si y solo si $x$ es un poder primordial como $p^n$ dónde $p$ es primo y $n$ es un entero positivo.
de acuerdo con esta oración podemos concluir $Z_{4}$también es un campo, pero creo que no debería ser un campo porque no satisface la propiedad de multiplicación inversa .
algunos sitios web como Wikipedia indican:
El número de elementos de un campo finito se denomina orden o, a veces, tamaño. Un campo finito de orden$q$ existe si y solo si el pedido $q$ es un poder primordial $p^k$ (dónde $p$ es un número primo y $k$es un número entero positivo). En un campo de orden$p^k$, agregando $p$las copias de cualquier elemento siempre dan como resultado cero; es decir, la característica del campo es$p$.
debido a este párrafo $Z_{4}$debería ser un campo finito mientras que no es un campo .
Entonces mi pregunta es: ¿Mi maestro cometió un error? ¿Es el campo finito el mismo anillo ? si no, ¿qué es diferente entre campo finito y anillo ?
Leí casi todas las páginas relacionadas en Internet para averiguar la diferencia entre campo y campo finito, pero ninguna se explicó exactamente y ahora todavía estoy confundido, así que decidí preguntar aquí.
Respuestas
Un campo finito es un campo. Un campo, ya sea finito o infinito, no tiene divisores cero. Si por$\mathbf{Z}_4$ Quiere decir $\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, el anillo de los enteros modulo $4$, entonces tiene razón en que ese anillo tiene cero divisores y, por lo tanto, no es un campo. Hay un campo con cuatro elementos, pero es diferente de$\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$. Con respecto a la suma, este campo se parece a$(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\times(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$. Con respecto a la multiplicación, su estructura es más complicada; Debería ser fácil localizar fuentes que describan la construcción.
Aquí hay un breve resumen: en el campo $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ no hay solución para la ecuación $x^2+x+1=0$ (ya que $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ tiene solo dos elementos, $0$ y $1$y ninguno resuelve la ecuación). Podemos ampliar el campo$\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ incluyendo un nuevo elemento $x$ que resuelve la ecuación anterior, de la misma manera que extendemos $\mathbf{R}$ incluyendo una solución para $x^2+1=0$. El resultado es un campo con cuatro elementos. Entonces, los elementos del campo extendido incluyen$0$, $1$, $x$y $x+1$. Podrías preguntar "¿qué pasa con$x^2$, etc.? "Pero desde $x$ satisface $x^2+x+1=0$, siempre podemos eliminar $x^2$ y poderes superiores de $x$. Esto es análogo a usar$i^2=-1$ para eliminar poderes superiores de $i$cuando se trabaja con números complejos. Puede verificar que los elementos distintos de cero de este nuevo campo forman un grupo cíclico de orden$3$: $$ 1, x, x^2, x^3, x^4, x^5,\ldots=1, x, x+1, 1, x, x+1, \ldots. $$
Tenga en cuenta que los campos finitos son únicos hasta el isomorfismo.
Espero que esto ayude.
Si $k$ es un campo finito, entonces el homomorfismo del anillo $$\varphi:\mathbb{Z}\rightarrow k,z\mapsto z\cdot1$$ dónde $z\cdot 1=\underbrace{1+...+1}_{z}$ para $z$ no negativo y $z\cdot 1=\underbrace{-1+(-1)...+(-1)}_{-z}$ para $z$ negativo, donde $\underbrace{1+...+1}_{0}=0$ es la suma vacía, debe tener un núcleo no trivial, ya que de lo contrario $\varphi$ sería inyectable y $\mathbb{Z}$es infinito. Ahora$\mathbb{Z}$ es un dominio ideal principal y, por lo tanto, el núcleo debe tener la forma $(p)=\{zp:z\in\mathbb{Z}\}$ para algunos $p\neq 0$ y ahora es fácil ver que el cociente $\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z}/(p)$ es solo un dominio integral si $p$es primo en sí mismo. Dado que un subanillo de un campo es un dominio integral, el núcleo debe ser$(p)$ por un mejor $p$, llamado la característica de $k$ y el cociente anterior es la imagen de $\mathbb{Z}$ en $k$. Ahora$k$ es un espacio vectorial sobre este subcampo, que también se denomina campo principal, de dimensión finita, digamos $$\dim_{\mathbb{Z}_p}k=n$$ luego $k$ tiene exactamente $p^n$ elementos.