¿Qué es realmente una categoría infinita?
Me interesa precisamente qué información codifica una categoría infinita. Por ejemplo, considere la categoría infinita de espacios. Me gusta pensar en esto como la categoría de homotopía de espacios equipados con alguna estructura extra, proveniente del modelo de conjunto simplicial, que nos permite calcular los límites de homotopía, etc. Mi pregunta (bastante vaga) es:
- ¿Qué tan única es esta estructura? En otras palabras, dada una categoría de homotopía, ¿hay una categoría de infinito canónica asociada?
- De manera relacionada, ¿las categorías de infinito codifican información que no es homotópica (con esto me refiero a información que no se puede obtener de la categoría de homotopía) en la naturaleza? ¿Entonces qué?
Respuestas
Creo que es útil considerar un análogo de su pregunta de dimensiones mucho más bajas, que es (al menos para mí) mucho más fácil de razonar intuitivamente, pero que aún transmite parte del mensaje.
Comparemos$0$-categorías (es decir, conjuntos) y$1$-categorías (es decir, categorías) basadas en lo que pueden codificar.
- a$0$-category es solo una clase de objetos. dos objetos de un$(0,1)$-categoría son equivalentes precisamente si son iguales (este es el$0$-truncamiento categórico de equivalencia), y nada más se puede decir realmente sobre los objetos.
- a$1$-categoría es un$0$-categoría (débilmente) enriquecida en$(0,0)$-categorías (es decir, conjuntos), que nos permite ser más delicados acerca de cómo un objeto se relaciona con otro; en particular, los morfismos nos permiten describir la estructura de los objetos, y$1$-el lenguaje categórico se ocupa así de las propiedades de los objetos en cuanto a su estructura. Más precisamente, dos objetos de un$1$-categoría son equivalentes precisamente si son isomorfos (es decir, tienen la misma estructura), y$1$-Las construcciones categóricas (como co/límites) se definen hasta el isomorfismo.
Dado un$1$-categoría$\def\cC{\mathcal C}$ $\cC$, podemos definir su homotopía$0$-categoría $\def\Ho{\operatorname{Ho}}$ $\Ho\cC$como el$0$-categoría cuyos objetos son clases de isomorfismo de objetos de$\cC$. Esto sirve como una presentación efectiva de$\cC$con un$0$-categoría en el sentido de que los objetos de$\cC$son isomorfos precisamente si los objetos correspondientes en$\Ho\cC$son iguales.
Sin embargo, también podemos ver que esto es difícil de aplicar ingeniería inversa, incluso canónicamente, ya que varios no equivalentes$1$-las categorías pueden tener la misma homotopía$0$-categoría. La forma más rápida de ver esto es notar que un$0$-categoría$X$puede pensarse como un$1$-categoría con solo morfismos de identidad, y en este caso$\Ho X=X$; en particular, dada cualquier$1$-categoría$\cC$, su homotopía$0$-categoría$\Ho\cC$es también una presentación de la$0$-categoría$X := \Ho\cC$ visto como un$1$-categoría . cual de$\cC$y$X$sería una elección más adecuada de un "canónico$1$-categoría" asociada a$\Ho\cC$?
Además, como mencionan los comentarios, es casi imposible realizar$1$-construcciones categóricas en la homotopía$0$-categoría: los únicos diagramas$F:J\to\Ho\cC$que tienen límites son diagramas constantes. De hecho, incluso si estuviéramos calculando el límite de un funtor$F:J\to\cC$donde todos los objetos en el diagrama eran isomorfos entre sí (es decir, el mapa inducido$F:\operatorname{Ob}J\to\Ho\cC$es un mapa constante) de modo que el límite en la homotopía$0$-categoría existe, el límite en$\Ho\cC$no tiene por qué estar relacionado en absoluto con el límite en$\cC$. Por ejemplo, el producto cartesiano$X\times X$generalmente no es isomorfo a$X$, pero el límite en el mapa correspondiente$\{\bullet\,\,\,\bullet\}\to\Ho\cC$(que es un mapa constante) siempre será la clase de isomorfismo de$X$.
La historia es similar para$(\infty,1)$-categorías. Como estas pueden ser pensadas como categorías débilmente enriquecidas en espacios (o$\infty$-groupoides), podemos ser aún más delicados acerca de cómo comparamos objetos. Así como las categorías se ocupan de la estructura de los objetos,$(\infty,1)$-las categorias se ocupan de la estructura homotopica coherente de los objetos. Por ejemplo:
- considerar los espacios topológicos$\Bbb R$,$(0,1)$, y$\{0\}$. si los miramos$0$-categóricamente (en el$0$-categoría$\mathbf{Top}_0$de espacios topológicos), entonces todos son completamente diferentes, ya que constan de elementos diferentes. si los miramos$1$-categóricamente (en el$1$-categoría$\mathbf{Top}$de espacios topológicos y mapas continuos), entonces$\Bbb R$y$(0,1)$son iguales porque tienen la misma estructura topológica, pero son diferentes de$\{0\}$porque no se pueden poner en biyección. Finalmente, si los miramos$(\infty,1)$-categóricamente, entonces los tres objetos son iguales, ya que pueden contraerse en un punto.
- Del mismo modo, considere las categorías$\mathbf{FinSet}$de conjuntos finitos y su subcategoría completa$\mathbf{FinOrd}$en ordinales finitos. No son isomorfas como categorías porque la primera tiene una clase de objetos adecuada mientras que la última tiene un conjunto y, por lo tanto, no se puede poner en biyección; sin embargo, son equivalentes como categorías porque podemos contraer los objetos de$\mathbf{FinSet}$juntos por biyecciones juntos (por sus cardinalidades) y encontrar que$\mathbf{FinOrd}$es el esqueleto de$\mathbf{FinSet}$
Ciertamente podemos asociar a un$(\infty,1)$-categoría$\def\sC{\mathscr C}$ $\sC$una categoría de homotopía$\Ho\sC$, donde los objetos de$\Ho\sC$son isomorfos precisamente si son equivalentes en$\sC$, pero vemos el mismo problema cuando tratamos de aplicar ingeniería inversa. Al igual que antes, una categoría$\cC$puede pensarse como un$(\infty,1)$-categoría donde todas las celdas superiores son triviales, y en este caso$\Ho\cC=\cC$, por lo que dada una$(\infty,1)$-categoría$\sC$, su categoría de homotopía es también una presentación de la categoría$\cC := \Ho\sC$ visto como un$(\infty,1)$-categoría .
Además, calcular los límites en$\Ho\sC$no dirá nada acerca de cómo calcular los límites en$\sC$. Por ejemplo, considere el$(2,1)$-categoría$\mathbf{Cat}$de (pequeñas) categorías, funtores e isomorfismos naturales, vistos como un$(\infty,1)$-categoría. Entonces, su categoría de homotopía$\Ho\mathbf{Cat}$en realidad no tiene retrocesos, como se muestra aquí . También se destaca aquí la distinción entre límites de homotopía en general y límites en la correspondiente categoría de homotopía , donde se enfatiza que incluso si el límite en$\Ho\sC$existe, no necesita corresponder al límite en$\sC$.
En determinados casos, puede presentar una$(\infty,1)$-categoría con un$1$-categoría equipada con estructura extra para que puedas trabajar con$1$-Lenguaje categórico para discutir la estructura de la$(\infty,1)$-categoría que presenta, e incluso es posible que puedas recuperar la$(\infty,1)$-categorizar canónicamente. Por ejemplo, si$\sC$es un localmente presentable$(\infty,1)$-category , entonces puede presentarlo con una categoría de modelo combinatoria simplicial$\cC$. Luego, los límites en$\sC$corresponden a los límites de homotopía en$\cC$, e incluso tienen las mismas categorías de homotopía. Además, puede recuperar$\sC$(por ejemplo) tomando el nervio coherente de homotopía de la subcategoría simplemente enriquecida de$\cC$en los objetos fibrantes cofibrantes, por lo que en este sentido también hay una forma canónica de retroceder.