¿Qué parte (s) de la definición de variedad suave a continuación excluye la posibilidad de que una variedad contenga su límite?
Esta pregunta trata de por qué una variedad no puede contener un límite. Estoy leyendo sobre formas diferenciales y variedades en Adams y Essex Calculus 2.
Por lo que leí y como se indica en el libro
Un colector $M$ en $\mathbb{R}^n$ no contiene en sí mismo ningún punto límite ...
Sin embargo, la definición de una variedad suave en el libro (que probablemente no sea la más general ya que este es un texto introductorio) dice (ligeramente abreviada)
Un subconjunto $M$ de $\mathbb{R}^n$ es una variedad k de dimensión $k\leq n$ si por cada $\mathbf{x} \in M$ existe un conjunto abierto $U \subset \mathbb{R}^n$, conteniendo $\mathbf{x}$ y una función suave $\mathbf{f}:U\rightarrow \mathbb{R}^{n-k}$: tal que se cumplan las dos condiciones siguientes: i) la parte de M en U está especificada por la ecuación $\mathbf{\mathbf{f}(\mathbf{x})} = \mathbf{0}$, ii) la transformación lineal de $\mathbb{R}^{n}$ dentro $\mathbb{R}^{n-k}$ dado por el jacobiano de $\mathbf{f}$ está en $\mathbb{R}^{n-k}$.
Lo que no entiendo es qué parte de esta definición excluye la posibilidad de que una variedad contenga su límite .
Como ejemplo, digamos una variedad $M$ podría ser definido por $M = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | y=x^2 \wedge 0 \leq x \leq 1\} $. Entonces podemos dejar$f = y-x^2$. Entonces para cualquier$(x,y)$ en $M$ podemos tener un disco pequeño$U$) alrededor de cualquier $(x,y)$ que se asignaría a $\mathbb{R}$ por $f$, la parte de $M$ dentro del disco sería especificado por $\mathbf{f}=0$, y el jacobiano $\begin{bmatrix}-2x & 1\end{bmatrix}$ está en $\mathbb{R}$.
Todo me parece bien, pero los puntos $(0,0)$, $(1,0)$parecerían ser puntos fronterizos. ¿Dónde me equivoco?
Respuestas
En la oración
la parte de $M$ en $U$ está especificado por la ecuación $f(x)=0$,
Tiene que entenderse como $$\tag{1} M\cap U = \{(x, y) \in U | f(x, y) =0\},$$ en lugar de solo $$\tag{2} M\cap U \subset \{(x, y) \in U | f(x, y) =0\}.$$
En tu ejemplo de $M, f$. Dejar$\mathbf x = (1,1)$ y $U$ ser el conjunto abierto $$U = \{ (x, y)\in \mathbb R^2 : x\in (0.5, 1.5), |x^2-y|<1\}.$$
Luego $$ \{(x, y) \in U : f(x, y) = 0\} = \{ (x, y)\in U: x^2= y\}$$ contiene estrictamente $$U\cap M = \{ (x, y) \in U | x^2=y,\ \text{ and } x\in (0.5, 1]\}.$$
Entonces, su ejemplo no es múltiple, ya que la oración debe entenderse como igualdad.
To see clearly that this should be the correct interpretation: if you merely require inclusion (2) instead of equality (1), then every subset $X$ which lies inside $\mathbb R\times \{0\} $ would be a $1$-manifold: let $X \subset \mathbb R\times \{0\} \subset \mathbb R^2$ be any subset. Then with $f(x, y) = x$, (2) is satisfied and thus $X$ would be a "manifold" if you assume just (2).
You need homeomorphic charts from open subsets of $\mathbb R$ to open subsets of $M$. But there is no such chart to any open subset of $M$ containing its boundary points, because the open line element is not homeomorphic to the half-closed (or closed) line element. This already excludes $M$ from being a topological manifold, let alone a smooth one.