¿Qué queremos decir exactamente con "densidad" en la función de densidad de probabilidad (PDF)? [duplicar]
En general, la densidad es masa / volumen. También se usa para algo como densidad de población, que es población / unidad de área.
¿Cuál es el significado de la densidad de palabras en PDF?
Respuestas
Respuesta corta: como en la densidad física, la densidad de probabilidad es probabilidad / volumen.
Respuesta larga: para objetos homogéneos, la densidad se puede definir como dijiste,$m/V$, con $m$ que denota masa y $V$su volumen. Sin embargo, si su objeto no es homogéneo, la densidad es una función de las coordenadas espaciales dentro del objeto:$$ \rho(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m(x, y, z)}{\Delta V} $$es decir, la masa dentro de un volumen infinitesimal alrededor de las coordenadas dadas, dividida por ese volumen infinitesimal. Piense en un pudín de ciruela: la densidad en las pasas es diferente de la densidad en la masa.
Para la probabilidad, es básicamente lo mismo: $$ f(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x, y, z)}{\Delta V} $$ dónde $f$ es la función de densidad de probabilidad (PDF) y $F$ la función de densidad acumulativa (CDF), de modo que $\Delta F$ es la probabilidad infinitesimal en el volumen infinitesimal $\Delta V$ en las proximidades de las coordenadas $(x, y, z)$ en el espacio sobre el cual $F$ se define.
Ahora, resulta que vivimos en un mundo físico con tres dimensiones espaciales, pero no estamos limitados a definir probabilidades sobre el espacio. En la práctica, es mucho más común trabajar con probabilidades definidas en una sola dimensión, digamos,$x$. Entonces lo anterior se simplifica a$$ f(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} $$ Pero, por supuesto, dependiendo de su modelo de probabilidad, $F$ y $f$ se puede definir sobre cualquier número de dimensiones.
Podría ver la derivada Radon-Nikodym como una definición formal de una noción más general de densidad.
Es la relación de dos medidas (que tienen la propiedad extensiva , son aditivas ) definidas en el mismo espacio .
$$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$
Esta relación hace que la única medida de la cantidad $\nu$ de un conjunto $S$ expresable por una integral sobre la otra medida $\mu$ $$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$
Normalmente el denominador $\mu$es una medida basada en una medida métrica como distancia, área o volumen. Esto es común para densidades en física como densidad de masa, densidad de energía, densidad de carga, densidad de partículas.
Con la densidad de probabilidad, el denominador puede ser más generalmente otro tipo de variable que no se relaciona con el espacio físico . Sin embargo, a menudo es similar en el uso de la medida euclidiana o la medida de Lebesgue . Es solo que la variable no necesita ser una coordenada en el espacio físico.
Para una sola variable aleatoria continua, el valor del pdf en el punto $t$le dice la densidad de la masa de probabilidad , medida en unidades de masa de probabilidad por unidad de longitud , en el punto$t$en la línea real. La densidad de la masa de probabilidad puede ser diferente en diferentes puntos de la línea real; no es tan fácil como la prescripción de masa / volumen de la física de la escuela secundaria.