¿Qué significa que el modelo puede reflejar la "sonrisa de volatilidad"?
Sé que la volatilidad implícita es el valor por el cual el modelo de Black Scholes devuelve el precio de opción correcto. También sé que si trazamos la volatilidad en el gráfico de precios de ejercicio, veremos "sonreír". Esto significa que el modelo de Black Scholes es inadecuado para la valoración porque asume una volatilidad constante. Pero, ¿qué significa que otro modelo (por ejemplo, el modelo de Kou) pueda reflejar la sonrisa de volatilidad? Este modelo también asumió una volatilidad constante. ¿Significa que en el modelo de Kou la gráfica de volatilidad implícita es más plana, es decir, que la volatilidad es más constante con respecto al ejercicio y al vencimiento?
Respuestas
Un modelo que refleja la sonrisa de volatilidad es uno con una dinámica que se aproxima al precio que produce una sonrisa de volatilidad implícita. Sin embargo, su pregunta me hace sospechar que está confuso en algunas de estas piezas, así que veamos esto con más detalle.
Volatilidades implícitas $\implies$ ¿Precio correcto?
Menciona que la volatilidad implícita en el modelo Black-Scholes da el precio "correcto". Eso es un poco atrevido ya que no conocemos el precio correcto. Podríamos asumir que el precio correcto está determinado únicamente por los precios de mercado o por algún modelo, si cree en posibles ineficiencias. (Tenga en cuenta que según el argumento de Grossman-Stiglitz, debe creer en las ineficiencias durante períodos cortos de tiempo).
Las volatilidades implícitas son solo las volatilidades que igualan los precios de mercado y los precios de Black-Scholes ( es decir, implícitas en el modelo de Black-Scholes).
¿Sonreír o sonreír?
También mencionas la sonrisa de volatilidad aunque esa forma no es universal. Port-1987 en la mayoría de los mercados de valores, la "sonrisa" ha sido más una mueca : asimétrica con una volatilidad mucho mayor para precios de ejercicio más bajos. Para las materias primas, la sonrisa es mucho más pronunciada y las volatilidades implícitas son mucho más altas a medida que aumenta el precio de ejercicio.
¿Es Black-Scholes inapropiado?
¿Suponer una volatilidad constante significa que el modelo de Black-Scholes es inadecuado para la valoración? No. Los precios de Black-Scholes que difieren sistemáticamente de los precios del mercado significa que el modelo está equivocado, pero "todos los modelos están equivocados", como señaló George Box. Sin embargo, el modelo de Black-Scholes sigue siendo útil y, por tanto, apropiado.
Por qué Black-Scholes se aparta de los precios de mercado
Los modelos de Black-Scholes y Merton suponen un equilibrio parcial (sin interacción entre el comprador y el vendedor al fijar los precios) y límites para los logaritmos de rentabilidad que convergen a la normalidad. Eso facilita las matemáticas, aunque no está de acuerdo con lo que observamos.
Hay tres fuerzas que no están de acuerdo con los supuestos de Black-Scholes:
- Sabemos que la volatilidad no es constante en el tiempo. Por lo general, este no es un factor importante, pero ayuda a explicar por qué a veces observamos superficies de volatilidad .
- Más importante: creemos que los rendimientos de los activos exhiben colas gruesas ; la probabilidad de retornos logarítmicos inusuales es mayor de lo que sugeriría la normalidad. Eso significa que las opciones out-of-the-money tienen más probabilidades de caducar in the-money de lo que sugiere Black-Scholes y, por lo tanto, valen más que el precio de Black-Scholes. Esto es cierto incluso si adivinamos correctamente la volatilidad subyacente. El mercado entiende esto y, por lo tanto, el precio de mercado es más alto. Eso lleva a que las volatilidades implícitas sean más altas para los precios de ejercicio que se alejan del precio subyacente actual.
- También es crucial: a los inversores les disgustan las pérdidas más de lo que les gustan las ganancias. Esto lleva a que los inversores estén dispuestos a pagar más por la protección contra las bajas de lo que pagarían por las ventajas: las opciones de venta son más caras de lo que sugerirían incluso las colas gordas.
Si se juntan estos factores, las volatilidades implícitas que son más altas con respecto al precio subyacente actual se deben a las colas gruesas y la preferencia de los inversores por evitar pérdidas. Si inferimos estas volatilidades implícitas de las opciones de compra y venta y luego las trazamos por los precios de ejercicio de esas opciones de compra y venta, obtenemos una curva que es, de hecho, más alta a medida que nos alejamos de (precios de ejercicio de ATM, es decir , el precio subyacente actual) .
¿Qué hace que Black-Scholes sea apropiado?
Lo que mantiene apropiado el modelo de Black-Scholes es el comportamiento regular de esa curva de volatilidad. Un buen modelo se puede ajustar para mejorarlo, y el modelo Black-Scholes nos permite hacer exactamente eso. Podemos utilizar volatilidades implícitas más altas para los precios de ejercicio fuera de los cajeros automáticos para corregir las colas gruesas y los inversores que no les gustan las pérdidas más de lo que les gustan las ganancias.
¿Cómo puede un modelo reflejar la curva de volatilidad?
Una vez que comprenda todo eso, es fácil ver cómo un modelo puede reflejar mejor la curva de volatilidad: puede permitir una variación no constante, colas más gruesas y la preferencia de los inversores para reducir el riesgo a la baja.
¿El modelo de Kou refleja la curva de volatilidad? Lo refleja mejor, porque incorpora saltos (que efectivamente producen colas más gruesas). El modelo de volatilidad de Heston también tiene colas más gruesas y, por lo tanto, refleja mejor la curva de volatilidad.
¿Podría uno hacerlo mejor que estos modelos? Sí: también sería inteligente incorporar a los inversores una mayor aversión a los rendimientos a la baja. Los modelos GARCH exponencial se adaptan a esto, pero necesitaría modificar el modelo de Kou o Heston para hacer lo mismo.