¿Qué sucede con la fase después del colapso de la función de onda?
Supongamos un estado cuántico inicial $\psi = a_1\phi_1 + a_2\phi_2 + ... + a_n\phi_n$, dónde $\phi_i$ es la función propia con valor propio $\lambda_i$de algún operador de medición. Después de la medición, encontraremos el sistema en estado$\phi_i$ con probabilidad $|a_i|^2$.
¿Qué sucede con la posmedición de fase? El principio de que las mediciones posteriores inmediatas siempre deben devolver el mismo valor se satisfaría sin importar la fase resultante. Podríamos encontrar el sistema en cualquier estado$b\phi_i$, siempre y cuando $|b|^2=1$. Estoy seguro de que los postulados de la mecánica cuántica especifican algo sobre esto, pero no he logrado encontrar ningún texto que lo aborde. Que debería$b$ ¿ser?
Respuestas
En mecánica cuántica, los estados están representados por rayos en el espacio de Hilbert, o más exactamente, el espacio de estados es el espacio proyectivo de Hilbert ; por ejemplo, para un sistema de dimensión finita, el espacio es$H_n / \sim \ \cong \mathbb{C}P^{n-1}$, donde para $u, v \in H_n$, $u \sim v$ Si $u = \alpha w$ para algún número complejo distinto de cero $\alpha$.
Ahora, por lo general, preferimos trabajar con el espacio simple de Hilbert en lugar del proyectivo, optando por imponer el cociente siempre que sea útil, simplemente porque tenemos muchas más herramientas útiles a nuestra disposición mientras trabajamos con espacios de Hilbert.
Sin embargo, siempre debe recordar que el espacio real de estados es el espacio proyectivo de Hilbert, lo que significa que el enunciado "Podríamos encontrar el sistema en cualquier estado $b\phi_i$ Mientras $|b|^2 = 1$"no tiene sentido, porque no hay estados separados $b\phi_i$- tampoco es que todos estos estados sean "iguales" - la verdadera razón es que solo hay un estado$\phi_i$ en el espacio proyectivo de Hilbert.
El colapso de la función de onda es solo una ficción que empleamos porque sería una molestia describir las mediciones de manera realista como un enredo del observador con la cosa que se observa, con decoherencia.
La fase en la mecánica cuántica no es observable. Solo puede determinar la fase de algo en relación con otra cosa. La fase$b_1$del estado después de haber medido que el sistema está en el estado 1 no tiene ningún significado por sí mismo. Debería compararlo con alguna otra fase, como la fase$b_2$ del sistema que está enredado con una persona que midió que estaba en el estado 2. Si pudiera hacer esto, entonces sería significativo decir, por ejemplo, que $\operatorname{arg}(b_2/b_1)$tiene algún valor. Para hacer esto, tendrías que hacer algo como medir la interferencia entre la persona en el estado 1 y la persona en el estado 2. Pero la única razón por la que el colapso es una buena aproximación es que la decoherencia hace que sea imposible para nosotros detectar este tipo de interferencia. , de modo que la persona 1 podría dejar de seguir la pista de la existencia de la otra posibilidad.
Después de la medición, encontraremos el sistema en estado $\phi_i$ con probabilidad $|a_i|^2$.
Casi, el estado final correcto es $$a_i\phi_i,$$es solo el resultado de aplicar el operador de proyección. Si lo deseamos, podemos normalizarlo a$$\frac{a_i}{|a_i|}\phi_i,$$pero solo deberíamos hacerlo si sabemos que no lo vamos a comparar o superponer con otros estados. Cuando lo normalizamos, lo dividimos por un número real , que no quita la fase. La fase general no es importante solo si no planeamos comparar / superponer el estado con otros estados.
Una forma de ver que el estado final es $a_i\phi_i$, o si deseamos su primo normalizado con la fase intacta, es imaginar primero que todo menos el $i$th coeficientes $a_j$son 0 y consideran el estado general posterior a la medición del sistema + aparato. Por continuidad, inmediatamente después de la medición, el estado general es exactamente el mismo que inmediatamente antes de la medición (estamos hablando de colapsos instantáneos en esta pregunta). Por lo tanto, debemos asignar el estado posterior a la medición del sistema para que también sea lo que era inmediatamente antes de la medición$a_i\phi_i$. Cualquier otra cosa sería un paso innecesario ad hoc extraño.
Para el caso general, con otros coeficientes distintos de cero, lo mismo debería ser cierto por linealidad, porque colapsar el estado solo significa mantener solo una de las ramas resultantes.