¿Qué tipo de proceso estocástico satisface $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ para todos $t,s \in \mathbb R^+$?

Question

Dejar $X=(X_t)_{t\in \mathbb R^+}$ frijol $L^2$Proceso estocástico. ¿Qué dice sobre$X$ Si $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ para todos $t,s \in \mathbb R^+$? ¿Qué dice sobre$X$ Si $Var[X_t]Var[X_s] \neq Cov[X_t,X_s]$ para todos $t,s \in \mathbb R^+$ ?

¿Existe una clase especial de procesos que satisfaga alguno de los anteriores?

Ahora repetimos las mismas preguntas, pero suponemos que $X$es un proceso gaussiano. ¿Aprendemos algo nuevo?

Answer 1

Con $s=t$ la condición es $$Var(X_s)=Var(X_s)^2,$$ que fuerzas, que $Var(X_s)=1$ para todos $s$. Y por lo tanto $$Cov(X_s,X_t) = 1^2 = \sqrt{Var(X_s)}\sqrt{Var(X_t)},$$ lo que implica que la correlación entre $X_s$ y $X_t$ es $1$ para todos $s$ y $t$, y por lo tanto $X_t$ es casi seguro una función lineal de $X_s$, es decir $$X_t = aX_s + b$$ para algunos $a$ y $b$. Se desprende de la condición de covarianza que$a=1$ y podemos ver que $b=\mathbb{E}[X_t - X_s]$. Así podemos escribir $$X_t = X_0 + f(t),$$ dónde $f(t)$ es la función determinista $f(t)=\mathbb{E}[X_t-X_0]$. También cualquier proceso definido como$X_t := X_0 + f(t)$ con $Var(X_0)=1$ y $f$ alguna función arbitraria, satisfará la condición dada.