Rango del elemento en extensión genérica versus rango de su nombre
A veces veo el siguiente hecho utilizado en algunos argumentos:
suponer $M[G]$ es una extensión genérica de $M$ por un forzamiento $\mathbb P$ y supongo $x\in M[G]$ tiene rango $<\gamma$, dónde $\gamma$ es un ordinal límite por encima del rango$(\mathbb{P})$. Entonces hay un nombre$\tau\in M^\mathbb{P}$ tal que $\tau_G=x$ y $\tau$ tiene rango $<\gamma$.
Por ejemplo, este hecho se utiliza en The Ground Axiom de Reitz para demostrar que el modelo básico es definible, al final del primer párrafo de la demostración del Lema 7.1.
Pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. ¡Cualquier ayuda apreciada!
Agregado después de la edición: si asumimos además que $\gamma$ es un $\beth$-punto fijo (equivalentemente, $H_\gamma=V_\gamma$. Esto es válido en el caso especial del Lema 7.1 mencionado anteriormente), entonces creo que el siguiente argumento funciona.
Por inducción en rango, mostramos que si $x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, entonces hay un nombre $\sigma\in H_\gamma\cap M^{\mathbb{P}}$ tal que $\sigma_G=x$. Así que suponga que esto se aplica a todos los conjuntos de rangos inferiores a$x$. Por lo tanto cada$y\in trcl(x)$ tiene un nombre $n(y)$ cuyo rango es menor que $\gamma$. Ahora recolectando todos esos nombres, vamos$z=\{n(y)\mid y\in trcl(x)\}$. Ya que$x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, sabemos $|trcl(x)|=\kappa<\gamma$. Esto también significa que$|z|=\kappa$. Las afirmaciones de cardinalidad precedentes están todas en el sentido de$M[G]$, y arreglamos una sobreyección $f:\kappa\to z$ en $M[G]$.
Dejar $\rho$ ser un nombre para $x$ y $\tau$ ser un nombre para $z$. Por el lema de la verdad, podemos arreglar algunos$p\in G$ tal que $$ p\Vdash \rho\in (H_\gamma)^{M[G]} \wedge \text{ every element of } \rho \text{ has a name of rank } <\gamma \\ \wedge \tau \subseteq \check{(H_\gamma)} \wedge\dot{f}:\kappa \to \tau \text{ is a surjection} $$
Luego procedemos a definir nuestro nombre de rango bajo $\sigma$ para $x$. Para cada$\alpha<\kappa$, dejamos
$$ X_\alpha = \{ q \in \mathbb{P} \mid \ (\exists \pi \in H_{\gamma}\cap M^{\mathbb{P}})~ q \leq p \wedge q \Vdash (\dot{f}(\alpha)=\check{\pi} \wedge \pi \in \rho)\} $$ En otras palabras, $X_\alpha$ recopila esas condiciones a continuación $p$ que forzará (la evaluación de) un elemento en $z$ ser un elemento de $x$.
Ahora para cada $X_\alpha$, arreglar un antichain máximo $A_\alpha$que se cruza. Para cada$\alpha<\kappa$ y $q\in X_\alpha\cap A_\alpha$, hay algunos $\mathbb P$-nombre $v(\alpha,q)$ tal que $q\Vdash v(\alpha,q)\in\rho\wedge \dot f(\alpha)=\check{v(\alpha,q)}$. Ahora podemos definir el nombre$\sigma$ ser - estar $$ \sigma = \{(\pi,q)\mid (\exists\alpha)( \alpha < \kappa \wedge q \in X_{\alpha} \cap A_{\alpha} \wedge \pi = v(\alpha,q))\} $$ Entonces $\sigma$ es un nombre en $H_\gamma\cap M^{\mathbb P}$y $p\Vdash \sigma=\rho$.
Segunda edición: parece que el caso especial esbozado anteriormente tiene un duplicado (?) Independientemente, todavía estaría interesado en ver cómo argumentar a favor de la afirmación más fuerte citada.
Respuestas
Voy a trabajar sobre $V$ en vez de $M$. Creo que la siguiente prueba funciona$\mathsf{ZFC^-}$ (es decir, $\mathsf{ZFC}$ sin Power Set y con Colección y el principio de ordenamiento bien) con la existencia de $\mathcal{P}(\mathbb{P})$. (Especialmente, se mantiene$M=H_\theta$ para grandes regulares $\theta$.)
Lema. Dejar$x\in V^\mathbb{P}$ ser un nombre tal que $\operatorname{rank}x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$ y $\gamma$ ser un ordinal mayor que $\operatorname{rank}\mathbb{P}$. Si$p\Vdash \operatorname{rank}x=\check{\gamma}$, entonces hay $\tau\in V^\mathbb{P}$ tal que
$p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$y
$\operatorname{rank}\tau\le\gamma_0+3n$, dónde $\gamma=\gamma_0+n$ por algún límite $\gamma_0$ y $n\in\omega$.
Permítanme introducir alguna notación sobre ordinales: para cada ordinal $\alpha$, $\alpha^*$ y $\alpha^@\in\omega$ ser ordinales tales que $\alpha=\alpha^*+\alpha^@$ y $\alpha^*$ es un ordinal límite.
Usaré la inducción en el rango de $x$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que
Si $(y,q)\in x$ entonces $q\le p$y
(Cercanía hacia abajo) si $(y,q)\in x$ y $r\le q$, entonces $(y,r)\in x$
por reemplazo $x$ a $$x'=\{(y,r)\mid \exists q (y,q)\in x \text{ and } r\le p,q\}.$$ Ya que $\operatorname{rank} x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$, tenemos $\operatorname{rank}x'\le\operatorname{rank}x$.
Entonces para cada $(y,q)\in x$, $q\Vdash \operatorname{rank}y<\check{\gamma}$. Encuentra un antichain maxinal$A_{y,q}$ abajo $q$ que decide el valor o $\operatorname{rank}y$; eso es, si$r\in A_{y,q}$ entonces hay un ordinal $\beta_{y,q,r}<\gamma$ tal que $r\Vdash \operatorname{rank}y=\check{\beta}_{y,q,r}$.
Por la hipótesis inductiva, podemos encontrar $\tau_{y,q,r}$ tal que $r\Vdash y=\tau_{y,q,r}^{\dot{G}}$ y $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@.$$ Ahora toma $$\tau=\{(\tau_{y,q,r},r)\mid (y,q)\in x\text{ and }r\in A_{y,q}\}.$$ Entonces podemos probar $p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$. Queda por comprobar el rango de$\tau$. Podemos ver eso$$\operatorname{rank}(\tau_{y,q,r},r)\le\max(\operatorname{rank}r, \beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@)+2$$
Caso 1. Si $\gamma$ es un ordinal límite, entonces el lado derecho es estrictamente menor que $\gamma$. Por lo tanto$\operatorname{rank}\tau\le\gamma$.
Caso 2. Si $\gamma=\gamma_0+n$ por algún límite $\gamma_0$ y $1\le n<\omega$, entonces $$p\Vdash \forall y\in x (\operatorname{rank} y\le\check{\gamma}_0+\check{n}-1).$$ De ahí el correspondiente $\beta_{y,q,r}$ satisface $\beta_{y,q,r}\le \gamma_0+n-1$, y por lo tanto $\tau_{y,q,r}$ satisface $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\gamma_0+3(n-1).$$ El argumento restante es directo, y tenemos $\operatorname{rank} \tau\le\gamma_0+3n$.