Razonamiento circular para probar $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
Acabo de comenzar a aprender acerca de las pruebas de límite épsilon-delta, y quiero saber cómo probar usando la definición épsilon-delta de un límite que $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
Lo intenté y fracasé, así que lo busqué en línea y descubrí que el truco es usar la identidad $\sin x < x$. No puedo encontrar ninguna prueba que no use esta identidad.
Nunca había visto esta identidad antes, así que busqué su prueba y encontré esta prueba que usa el teorema del valor medio. Nuevamente, todavía no he aprendido el teorema del valor medio, pero según el sitio web, requiere una función continua (y diferenciable)$f$.
¡Pero el concepto de continuidad se define usando la definición de límite épsilon-delta! De hecho, el hecho de que$\sin(x)$ es continuo es exactamente la afirmación que estoy tratando de probar arriba: $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
Este es un razonamiento claramente circular. Mi pregunta es ¿cómo se escapa uno? O debe haber una manera de probar$\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$ sin la identidad $\sin x < x$, o tenemos que demostrar $\sin x < x$sin el hecho de que el pecado es continuo. ¿O supongo que podría haber una tercera opción? No puedo encontrar ninguna respuesta sobre cómo hacerlo, lo que encuentro más extraño ...
Respuestas
Un enfoque muy analítico es partir de integrales y definir $\log, \exp, \sin$ y demostrar que estos son suaves y, por lo tanto, continuos en sus dominios.
Primero definimos el logaritmo natural por $$ \ln x := \int_1^x \frac{dt}{t} $$ Es fácil mostrar las leyes de los logaritmos usando esta definición y reglas de integración, y eso $\ln$ es diferenciable.
Luego definimos la función exponencial como su inversa, $$ \exp := \ln^{-1} $$ Por el teorema de la función inversa, $\exp$ es diferenciable y, por tanto, continuo.
La serie Maclaurin / Laurent de $\exp$ tiene un radio infinito de convergencia por lo que $\exp$ se puede ampliar desde $\mathbb{R}$ a una función suave en todos $\mathbb{C}.$ Por tanto, podemos definir la función $\sin$ por $$ \sin x := \frac{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i} $$ que también será suave y por lo tanto continuo.
Podemos hacer esto con identidades trigonométricas. Basado en la identidad de suma de ángulos$$\sin(x + \delta) = \sin(x) \cos(\delta) + \cos(x) \sin(\delta),$$ basta para probar la continuidad de $\sin(x)$ y $\cos(x)$ como $x \to 0$. No solo eso, sino que desde$\sin(-x) = -\sin(x)$ y $\cos(-x) = \cos(x)$, es suficiente para probar la continuidad correcta como$x \to 0^+$.
También vamos a utilizar la propiedad que $\sin(x)$ está aumentando en $[0, \pi/2)$ y $\cos(x)$ está disminuyendo en el mismo intervalo, que $\sin(0) = 0$, $\cos(0) = 1$, y eso $\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2.$
Así que digamos que me das un valor de $\epsilon > 0$y quieres que encuentre un valor de $\delta > 0$ así que eso $\sin([0, \delta)) \subseteq [0, \epsilon)$. Porque$\sin(x)$ está aumentando, basta con encontrar $\delta$ así que eso $\sin(\delta) < \epsilon$. Empezando desde$x = \pi/4$, Puedo usar repetidamente la identidad de medio ángulo $$\sin \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}} = \sqrt{1 - \cos^2(x)} \sqrt{\frac{1}{2(1 + \cos(x))}} = \sin(x) \sqrt{\frac{1}{2(1 + \cos(x))}}.$$
En $[0, \pi/4]$, $\sqrt{2}/2 \leq \cos(x) \leq 1$. Ya que$\sqrt{2}/2 > 7/18$, tenemos $2(1 + \cos(x)) \geq 2(1 + 7/18) = 25/9$ en este rango, lo que implica
\begin{align*} \sin \left( \frac{x}{2} \right) &\leq \frac{3}{5} \sin(x), \\ \sin \left( \frac{x}{2^n} \right) &\leq \left( \frac{3}{5} \right)^n \sin(x), \ \end{align*}
para cualquier $x \in [0, \pi/4]$. Por tanto, si me dices$\epsilon$, Siempre puedo encontrar un valor de $N$ así que eso $\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \frac{3}{5} \right)^N < \epsilon$, y luego mi valor de $\delta$ es $\frac{\pi}{4*2^N} = \frac{\pi}{2^{N+2}}$. Esto prueba que$\lim_{x \to 0^+} \sin(x) = 0$.
Porque $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$, también se sigue que $$\lim_{x \to 0^+} \cos(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{1 - \sin^2(x)} = \sqrt{1 - 0^2} = 1,$$ y tenemos la continuidad correcta necesaria de $\sin(x)$ y $\cos(x)$ a $x = 0$. QED.
Es realmente sencillo justificar que $sin$ es continua en cero con la definición después de tomar $\delta = \varepsilon$. Una vez que haya hecho eso, la Fórmula (5) en la publicación @ user2661923 (arriba) lo llevará a una buena justificación formal de la continuidad de$sin$ (usando eso $cos$ está ligado).
Estoy de acuerdo con la lógica del OP de que se trata de un razonamiento circular. De hecho, usé "Calculus 2nd Ed". por Apostol para estudiar Cálculo. En ese libro, Apostol primero introduce la noción de las funciones seno y coseno axiomáticamente, afirmando que quería encontrar funciones que satisfagan los siguientes 4 axiomas:
(1) Las funciones seno y coseno se definen en todas partes de la línea real.
(2) Valores especiales: $\cos 0 = \sin(\pi/2) = 1, \;cos \,\pi = -1.$
(3) $\cos(y - x) = \cos y \cos x + \sin y \sin x.$
(4) Para $0 < x < \pi/2$:
$\displaystyle 0 < \cos x < \frac{\sin x}{x} < \frac{1}{\cos x}.$
Apostol subsecuentemente:
(a)
Demostró geométricamente que la noción tradicional de seno y coseno satisface los axiomas anteriores siempre que$\sin x, \,\cos x$ se interpreta como $\sin x$ radianes, $\cos x$ radianes: donde $2\pi$ radianes = $360^{\circ}.$
(b)
Demostró que todas las demás identidades trigonométricas, incluidas las que implican continuidad, diferenciación, integración y series de Taylor de seno y coseno, fluyen de estos axiomas.
....................
Si entiendo correctamente la consulta del OP, él quiere establecer que la función seno es continua en todas partes, sin el beneficio del axioma (4), anterior.
Es muy difícil para mí determinar si esto es posible; Es muy difícil determinar con precisión qué resultados posteriores requieren en última instancia el axioma (4) anterior.
Quizás la verdadera pregunta es: ¿cuál es la solución prevista? Lo intentaré. En mi intento (abajo), asumo que la función seno es continua en$x = 0.$ Se podría argumentar fácilmente, a la luz de lo que se le pide al PO que pruebe, que esta suposición no está justificada.
Hasta donde yo sé, una de las consecuencias de los axiomas (1) a (3) anteriores es [es decir, el axioma (4) no se usa aquí]:
(5) $\displaystyle \sin x - \sin a = 2 \sin\left(\frac{x - a}{2}\right) \times \cos\left(\frac{x + a}{2}\right).$
Dado que la función coseno es una función acotada [es decir, para todos $\theta, |\cos \theta| \leq 1|$],
(5) implica que$|\sin x - \sin a| \leq 2 \left|\sin\left(\frac{x - a}{2}\right)\right|.$
Me parece que la tarea es mostrar que para todos $\epsilon > 0,$ existe un $\delta > 0$ tal que
$0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |(\sin x) - (\sin a)| < \epsilon.$
Escoger $\delta > 0$ así que eso $\sin (\delta/2) < \epsilon/2.$
Dado que la función seno se supone continua en $x = 0,$esto significa que
(6) si$|(x - a)| < \delta,$ luego $|\sin\left(\frac{x - a}{2}\right)| < \sin (\delta/2) < \epsilon/2$
según sea necesario.
Apéndice
Al revisar mi intento anterior, noté que olvidé agregar que (a mi leal saber y entender) una de las otras consecuencias de los axiomas (1) a (3) [es decir, el axioma (4) nuevamente sin usar] es que
$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1.$
Esta consecuencia apoya la suposición de que la función coseno está limitada por $\pm 1.$
Anexo -2
Aunque el razonamiento en torno a (6) es factible , mi presentación aquí también fue descuidada.
Dado que la función seno se supone continua en $\theta = 0,$existe un barrio
alrededor$(\theta = 0)$ tal que $\alpha$ dentro de este barrio implica que
$|\sin(\alpha/2)| < \sin(\delta/2).$
Por lo tanto, $(x-a)$ debe estar limitado a estar en este vecindario.